Ejercicios resueltos de optimización en varias variables

Ejercicio 1

Dificultad: Básico

Encontrar y clasificar los puntos críticos de:

a) $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 6y + 5$

b) $g(x, y) = x^2 - 4xy + y^2$

Ver solución paso a paso2 pasos

Paso 1
Para $f$ : $f_x = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ y $f_y = 2y + 6 = 0 \Rightarrow y = -3$
$f_{xx} = 2$ , $f_{yy} = 2$ , $f_{xy} = 0 \Rightarrow D = 4 > 0$ con $f_{xx} > 0$ : mínimo local en $(2, -3)$
$f(2, -3) = 4 + 9 - 8 - 18 + 5 = -8$
Comprobación: completando cuadrados, $f = (x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 8$ , cuyo mínimo es $-8$ ✓
Paso 2
Para $g$ : $g_x = 2x - 4y = 0$ y $g_y = -4x + 2y = 0$ . La única solución es $(0, 0)$ .
$g_{xx} = 2$ , $g_{yy} = 2$ , $g_{xy} = -4 \Rightarrow D = 4 - 16 = -12 < 0$ : punto de silla en $(0, 0)$
Observa que sobre la recta $y = x$ la función vale $-2x^2$ (baja) y sobre $y = -x$ vale $6x^2$ (sube).

Ejercicio 2

Dificultad: Básico

Encontrar y clasificar los puntos críticos de $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ .

Ver solución paso a paso3 pasos

Paso 1
$f_x = 3x^2 - 3y = 0 \Rightarrow y = x^2$ y $f_y = 3y^2 - 3x = 0 \Rightarrow x = y^2$
Paso 2
Sustituyendo: $x = (x^2)^2 = x^4 \Rightarrow x(x^3 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 1$
Puntos críticos: $(0, 0)$ y $(1, 1)$
Paso 3
$f_{xx} = 6x$ , $f_{yy} = 6y$ , $f_{xy} = -3 \Rightarrow D = 36xy - 9$
En $(0, 0)$ : $D = -9 < 0$ : punto de silla
En $(1, 1)$ : $D = 27 > 0$ con $f_{xx} = 6 > 0$ : mínimo local, con $f(1, 1) = 1 + 1 - 3 = -1$

Ejercicio 3

Dificultad: Intermedio

Una empresa fabrica $x$ e $y$ cientos de unidades de dos modelos de bomba hidráulica que comparten línea de montaje. Su beneficio semanal, en cientos de euros, es

$B(x, y) = 60x + 48y - x^2 - xy - y^2 - 100$

Determinar la producción que maximiza el beneficio y el beneficio máximo.

Ver solución paso a paso4 pasos

Paso 1
Condiciones de primer orden:
$B_x = 60 - 2x - y = 0$ y $B_y = 48 - x - 2y = 0$
Paso 2
Sistema lineal: $2x + y = 60$ y $x + 2y = 48$ . Multiplicando la segunda por 2 y restando: $3y = 36 \Rightarrow y = 12$ , y entonces $x = 24$ .
Paso 3
$B_{xx} = -2$ , $B_{yy} = -2$ , $B_{xy} = -1 \Rightarrow D = 4 - 1 = 3 > 0$ con $B_{xx} < 0$ : máximo
Paso 4
$B(24, 12) = 1440 + 576 - 576 - 288 - 144 - 100 = 908$
Respuesta: 2400 bombas del primer modelo y 1200 del segundo, con un beneficio máximo de 90 800 € semanales.

(Continuación del ejercicio de la planta de ensamblaje con $P(K, L) = 5\sqrt{KL}$ .) Hay que producir exactamente 120 unidades semanales, con la hora de máquina a 30 € y la de trabajo a 20 €. Usar multiplicadores de Lagrange para encontrar la combinación de mínimo coste, e interpretar el multiplicador.

Ver solución paso a paso6 pasos

Paso 1
Minimizar $C(K, L) = 30K + 20L$ sujeto a $5\sqrt{KL} = 120$ , es decir, $g(K, L) = KL = 576$ .
Paso 2
Con la restricción escrita como $P(K, L) = 120$ , las condiciones $\nabla C = \lambda \nabla P$ son:
$30 = \lambda \cdot \dfrac{5}{2}\sqrt{\dfrac{L}{K}}$ , $\qquad 20 = \lambda \cdot \dfrac{5}{2}\sqrt{\dfrac{K}{L}}$
Paso 3
Dividiendo la primera entre la segunda: $\dfrac{3}{2} = \dfrac{L}{K} \Rightarrow L = 1{,}5K$
Paso 4
Sustituyendo en $KL = 576$ : $1{,}5K^2 = 576 \Rightarrow K^2 = 384 \Rightarrow K = 8\sqrt{6} \approx 19{,}60$ h y $L = 12\sqrt{6} \approx 29{,}39$ h
Paso 5
Coste mínimo: $C = 30 \cdot 8\sqrt{6} + 20 \cdot 12\sqrt{6} = 480\sqrt{6} \approx 1175{,}76$ €, frente a los 1200 € de la mejor de las combinaciones probadas a mano.
Paso 6
De la primera ecuación, $\lambda = \dfrac{30}{\frac{5}{2}\sqrt{1{,}5}} = 4\sqrt{6} \approx 9{,}80$ €/unidad. Es el coste marginal: fabricar una unidad más encarecería el plan óptimo en unos 9,80 €.

Ejercicio 5

Dificultad: Avanzado

Una caja rectangular cerrada debe tener 600 cm² de superficie. Usar multiplicadores de Lagrange para hallar las dimensiones de volumen máximo.

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Paso 1
Maximizar $V = xyz$ sujeto a $S = 2(xy + yz + zx) = 600$ .
Paso 2
Condiciones $\nabla V = \lambda \nabla S$ :
$yz = 2\lambda(y + z)$ , $\qquad xz = 2\lambda(x + z)$ , $\qquad xy = 2\lambda(x + y)$
Paso 3
Multiplicando la primera por $x$ y la segunda por $y$ , ambos miembros izquierdos valen $xyz$ :
$2\lambda x(y + z) = 2\lambda y(x + z) \Rightarrow xz = yz \Rightarrow x = y$ (pues $z > 0$ )
Del mismo modo, con la segunda y la tercera, $y = z$ .
Paso 4
Con $x = y = z$ : $2 \cdot 3x^2 = 600 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow x = 10$ cm
Respuesta: un cubo de 10 cm de arista, con volumen máximo de 1000 cm³.

Ejercicio 6

Dificultad: Avanzado

Para programar el mantenimiento, se mide el desgaste de una herramienta de corte (en décimas de milímetro) tras varias horas de uso:

$\begin{array}{l|cccc} \text{Horas } x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \text{Desgaste } y & 2{,}1 & 3{,}9 & 6{,}2 & 7{,}8 \end{array}$

a) Ajustar la recta $y = mx + b$ por mínimos cuadrados

b) Comprobar que es un mínimo y calcular el error cuadrático

c) Predecir el desgaste a las 6 horas

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Paso 1
Sumas: $n = 4$ , $\sum x_i = 10$ , $\sum x_i^2 = 30$ , $\sum y_i = 20$ , $\sum x_i y_i = 2{,}1 + 7{,}8 + 18{,}6 + 31{,}2 = 59{,}7$
Paso 2
Ecuaciones normales:
$30m + 10b = 59{,}7$ y $10m + 4b = 20$
De la segunda, $b = 5 - 2{,}5m$ ; sustituyendo: $30m + 50 - 25m = 59{,}7 \Rightarrow m = 1{,}94$ y $b = 0{,}15$
Paso 3
Hessiana de $E(m, b)$ : $E_{mm} = 2\sum x_i^2 = 60$ , $E_{bb} = 2n = 8$ , $E_{mb} = 2\sum x_i = 20$
$D = 480 - 400 = 80 > 0$ con $E_{mm} > 0$ : mínimo ✓
Predicciones: $2{,}09$ ; $4{,}03$ ; $5{,}97$ ; $7{,}91$ . Residuos: $0{,}01$ ; $-0{,}13$ ; $0{,}23$ ; $-0{,}11$
$E = 0{,}0001 + 0{,}0169 + 0{,}0529 + 0{,}0121 = 0{,}082$
Paso 4
$y(6) = 1{,}94 \cdot 6 + 0{,}15 = 11{,}79$ décimas de milímetro, es decir, unos 1,18 mm.
Advertencia: extrapolar fuera del rango medido (1 a 4 horas) supone que el desgaste sigue siendo lineal, algo que hay que validar con nuevas medidas.

Ejercicio 7

Dificultad: Experto

Aplicar dos pasos del método de descenso de gradiente a $f(x, y) = (x - 3)^2 + 2(y + 1)^2$ partiendo de $(0, 0)$ :

a) Con tasa de aprendizaje $\eta = 0{,}25$

b) Estudiar qué ocurre con la coordenada $y$ si se usa $\eta = 0{,}5$

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Paso 1
Gradiente: $\nabla f = (2(x - 3), \; 4(y + 1))$ . El mínimo exacto es $(3, -1)$ , con $f = 0$ .
Paso 2
Con $\eta = 0{,}25$ , partiendo de $(0, 0)$ con $f = 11$ :
Iteración 1: $\nabla f(0, 0) = (-6, 4) \Rightarrow (0, 0) - 0{,}25(-6, 4) = (1{,}5; \, -1)$ , con $f = 2{,}25$
Iteración 2: $\nabla f(1{,}5; -1) = (-3, 0) \Rightarrow (2{,}25; \, -1)$ , con $f = 0{,}5625$
El valor de $f$ baja en cada paso ( $11 \to 2{,}25 \to 0{,}5625$ ) y la coordenada $x$ se acerca a 3 reduciendo su distancia a la mitad en cada iteración.
Paso 3
Con $\eta = 0{,}5$ , la coordenada $y$ se actualiza como $y_{k+1} = y_k - 0{,}5 \cdot 4(y_k + 1) = -y_k - 2$
Desde $y_0 = 0$ : $y_1 = -2$ , $y_2 = 0$ , $y_3 = -2$ ... La coordenada $y$ oscila sin acercarse nunca a $-1$ .
Lección: si la tasa de aprendizaje es demasiado grande, el método no converge. Elegir bien $\eta$ es uno de los problemas prácticos centrales al entrenar modelos de inteligencia artificial.