Matemáticas I · Tema 7 · Sección 7.6

Ejercicios resueltos de derivadas parciales y gradiente

6 ejercicios resueltos paso a paso del tema 7 de Matemáticas I (Cálculo diferencial). El enunciado está a la vista y la solución, plegada: intenta cada ejercicio antes de abrirla.

derivada parcial
gradiente
derivada direccional
plano tangente
regla de la cadena

Practicar en la app Teoría en el manual (p. 145)

Ejercicio 1

Dificultad: Básico

Calcular las derivadas parciales $f_x$ y $f_y$ de:

a) $f(x, y) = 3x^2y - 5xy^3 + 2x$

b) $g(x, y) = e^{2x}\sin(3y)$

c) $h(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$

d) $k(x, y) = \dfrac{x}{y}$

Ver solución paso a paso4 pasos

Paso 1
Tratando $y$ como constante y luego $x$ como constante:
$f_x = 6xy - 5y^3 + 2$ , $\qquad f_y = 3x^2 - 15xy^2$
Paso 2
$g_x = 2e^{2x}\sin(3y)$ , $\qquad g_y = 3e^{2x}\cos(3y)$
Paso 3
Por la regla de la cadena:
$h_x = \dfrac{2x}{x^2 + y^2}$ , $\qquad h_y = \dfrac{2y}{x^2 + y^2}$
Paso 4
$k_x = \dfrac{1}{y}$ , $\qquad k_y = x \cdot \left( -\dfrac{1}{y^2} \right) = -\dfrac{x}{y^2}$

Ejercicio 2

Dificultad: Básico

Derivadas de segundo orden:

a) Calcular las cuatro derivadas segundas de $f(x, y) = x^3y^2 + e^{xy}$ y comprobar el teorema de Schwarz

b) Comprobar que $u(x, y) = x^2 - y^2$ cumple la $\textit{ecuación de Laplace}$ $u_{xx} + u_{yy} = 0$ , que describe la temperatura de equilibrio en una placa (se estudia en Matemáticas II)

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Paso 1
Derivadas primeras:
$f_x = 3x^2y^2 + ye^{xy}$ , $\qquad f_y = 2x^3y + xe^{xy}$
Paso 2
Derivadas segundas puras:
$f_{xx} = 6xy^2 + y^2e^{xy}$ , $\qquad f_{yy} = 2x^3 + x^2e^{xy}$
Paso 3
Derivadas cruzadas (regla del producto en el término $ye^{xy}$ ):
$f_{xy} = \dfrac{\partial}{\partial y}(3x^2y^2 + ye^{xy}) = 6x^2y + e^{xy} + xye^{xy}$
$f_{yx} = \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^3y + xe^{xy}) = 6x^2y + e^{xy} + xye^{xy}$
Coinciden, como afirma el teorema de Schwarz ✓
Paso 4
Para $u = x^2 - y^2$ : $u_{xx} = 2$ y $u_{yy} = -2$ , luego $u_{xx} + u_{yy} = 0$ ✓

Ejercicio 3

Dificultad: Intermedio

La temperatura (°C) en una lámina es $T(x, y) = 50 + 2x^2 + xy - y^2$ , con $x, y$ en cm.

a) Calcular el gradiente en el punto $(1, 2)$ y la máxima tasa de aumento de la temperatura

b) Calcular la tasa de cambio de la temperatura si desde $(1, 2)$ nos movemos hacia el punto $(4, 6)$

c) ¿En qué dirección hay que moverse desde $(1, 2)$ para que la temperatura no cambie?

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Paso 1
$T_x = 4x + y$ y $T_y = x - 2y$
En $(1, 2)$ : $\nabla T(1, 2) = (6, -3)$
Máxima tasa de aumento: $|\nabla T| = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}71$ °C/cm, en la dirección $(6, -3)$
Paso 2
El vector de $(1, 2)$ a $(4, 6)$ es $(3, 4)$ , de módulo 5. Vector unitario: $\mathbf{u} = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)$
$D_{\mathbf{u}} T = 6 \cdot \frac{3}{5} + (-3) \cdot \frac{4}{5} = \frac{18 - 12}{5} = 1{,}2$ °C/cm
Paso 3
La temperatura no cambia en la dirección perpendicular al gradiente, es decir, a lo largo de la isoterma. Un vector perpendicular a $(6, -3)$ es $(1, 2)$ : comprobamos $6 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 = 0$ ✓
Direcciones: $\pm \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2)$

Ejercicio 4

Dificultad: Avanzado

Plano tangente y aproximación lineal:

a) Hallar el plano tangente a $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ en el punto $(3, 4)$

b) Usarlo para estimar $\sqrt{3{,}02^2 + 3{,}97^2}$ y comparar con el valor exacto

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Paso 1
$f(3, 4) = \sqrt{9 + 16} = 5$
$f_x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \Rightarrow f_x(3, 4) = \dfrac{3}{5}$ , $\qquad f_y = \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \Rightarrow f_y(3, 4) = \dfrac{4}{5}$
Paso 2
Plano tangente: $z = 5 + \frac{3}{5}(x - 3) + \frac{4}{5}(y - 4)$
Paso 3
Con $x - 3 = 0{,}02$ e $y - 4 = -0{,}03$ :
$z \approx 5 + 0{,}6(0{,}02) + 0{,}8(-0{,}03) = 5 + 0{,}012 - 0{,}024 = 4{,}988$
Verificación: el valor exacto es $\sqrt{24{,}8813} \approx 4{,}98812$ . La aproximación acierta hasta la cuarta cifra decimal.

Ejercicio 5

Dificultad: Avanzado

La potencia disipada en una resistencia es $P = \dfrac{V^2}{R}$ . Se mide $V = 220 \pm 2$ V y $R = 50 \pm 0{,}5$ $\Omega$ .

a) Calcular la potencia nominal

b) Estimar el error máximo de la potencia con el diferencial total

c) Calcular el error relativo e indicar qué medida conviene mejorar

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Paso 1
$P = \dfrac{220^2}{50} = \dfrac{48400}{50} = 968$ W
Paso 2
Derivadas parciales:
$\dfrac{\partial P}{\partial V} = \dfrac{2V}{R} = \dfrac{440}{50} = 8{,}8$ W/V, $\qquad \dfrac{\partial P}{\partial R} = -\dfrac{V^2}{R^2} = -\dfrac{48400}{2500} = -19{,}36$ W/ $\Omega$
Paso 3
Error máximo (sumando valores absolutos, el peor caso):
$|dP| \leq 8{,}8 \cdot 2 + 19{,}36 \cdot 0{,}5 = 17{,}6 + 9{,}68 = 27{,}28$ W
Paso 4
Error relativo: $\dfrac{27{,}28}{968} \approx 2{,}8\%$ . También se obtiene como $2\dfrac{dV}{V} + \dfrac{dR}{R} = 2(0{,}91\%) + 1\% \approx 2{,}8\%$
La tensión aporta casi dos tercios del error (17,6 W de 27,28 W) porque aparece al cuadrado: conviene mejorar el voltímetro.

Un mol de gas ideal cumple $P = \dfrac{RT}{V}$ , con $R = 8{,}314$ J/(mol·K). En un proceso, la temperatura y el volumen varían según $T(t) = 300 + 2t$ K y $V(t) = 0{,}02 + 0{,}001t$ m³, con $t$ en segundos.

a) Calcular la presión en $t = 0$

b) Calcular la tasa de cambio de la presión en $t = 0$ con la regla de la cadena

c) Interpretar el signo del resultado

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Paso 1
$P(0) = \dfrac{8{,}314 \cdot 300}{0{,}02} = 124\,710$ Pa
Paso 2
Regla de la cadena: $\dfrac{dP}{dt} = \dfrac{\partial P}{\partial T}\dfrac{dT}{dt} + \dfrac{\partial P}{\partial V}\dfrac{dV}{dt}$
$\dfrac{\partial P}{\partial T} = \dfrac{R}{V} = \dfrac{8{,}314}{0{,}02} = 415{,}7$ Pa/K, $\qquad \dfrac{dT}{dt} = 2$ K/s
$\dfrac{\partial P}{\partial V} = -\dfrac{RT}{V^2} = -\dfrac{8{,}314 \cdot 300}{0{,}0004} = -6\,235\,500$ Pa/m³, $\qquad \dfrac{dV}{dt} = 0{,}001$ m³/s
Paso 3
$\dfrac{dP}{dt} = 415{,}7 \cdot 2 - 6\,235\,500 \cdot 0{,}001 = 831{,}4 - 6235{,}5 = -5404{,}1$ Pa/s
Interpretación: el calentamiento tiende a subir la presión (+831,4 Pa/s), pero la expansión la hace bajar mucho más ( $-$ 6235,5 Pa/s). El efecto neto es un descenso de unos 5,4 kPa por segundo.