Ejercicios resueltos de derivación implícita

Derivando ambos lados respecto a $x$:

$\frac{d}{dx}[x^2 + y^2] = \frac{d}{dx}[25]$

$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

$2y\frac{dy}{dx} = -2x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ (para $y \neq 0$)

Derivando ambos lados:

$\frac{d}{dx}[xy] + \frac{d}{dx}[x^2] = \frac{d}{dx}[8]$

$y + x\frac{dy}{dx} + 2x = 0$ (usando regla del producto para $xy$)

$x\frac{dy}{dx} = -y - 2x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y + 2x}{x}$ (para $x \neq 0$)

Derivando ambos lados:

$\frac{d}{dx}[\sin(xy)] = \frac{d}{dx}[x + y]$

$\cos(xy) \cdot \frac{d}{dx}[xy] = 1 + \frac{dy}{dx}$ (regla de la cadena)

$\cos(xy) \cdot \left(y + x\frac{dy}{dx}\right) = 1 + \frac{dy}{dx}$

$y\cos(xy) + x\cos(xy)\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}[x\cos(xy) - 1] = 1 - y\cos(xy)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy) - 1}$

Verificamos que $(1{,}2)$ está en la curva: $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$ ✓

Derivando: $3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{y^2}$

En $(1, 2)$: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1^2}{2^2} = -\frac{1}{4}$

Verificamos: $e^{0 \cdot 1} = e^0 = 1$ y $0 + 1 = 1$ ✓

Derivando: $e^{xy} \cdot \frac{d}{dx}[xy] = 1 + \frac{dy}{dx}$

$e^{xy} \cdot \left(y + x\frac{dy}{dx}\right) = 1 + \frac{dy}{dx}$

$ye^{xy} + xe^{xy}\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}[xe^{xy} - 1] = 1 - ye^{xy}$

En $(0, 1)$: $e^{0 \cdot 1} = 1$

$\frac{dy}{dx}[0 \cdot 1 - 1] = 1 - 1 \cdot 1$

$\frac{dy}{dx}[-1] = 0$

$\frac{dy}{dx} = 0$

Verificamos: $1^2 \cdot 2 + 1 \cdot 2^2 = 2 + 4 = 6$ ✓

Derivando usando regla del producto:

$\frac{d}{dx}[x^2y] + \frac{d}{dx}[xy^2] = 0$

$(2xy + x^2\frac{dy}{dx}) + (y^2 + x \cdot 2y\frac{dy}{dx}) = 0$

$2xy + x^2\frac{dy}{dx} + y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(x^2 + 2xy) = -(2xy + y^2)$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y(2x + y)}{x(x + 2y)}$

En $(1, 2)$: $\frac{dy}{dx} = -\frac{2(2 + 2)}{1(1 + 4)} = -\frac{8}{5}$

Verificamos: $\frac{1^2}{4} + \frac{(3\sqrt{3}/2)^2}{9} = \frac{1}{4} + \frac{27/4}{9} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ ✓

Derivando: $\frac{2x}{4} + \frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{x}{2} + \frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{4y}$

En $(1, \frac{3\sqrt{3}}{2})$: $\frac{dy}{dx} = -\frac{9 \cdot 1}{4 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}} = -\frac{9}{6\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ecuación de la tangente: $y - \frac{3\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}(x - 1)$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + 2\sqrt{3}$

Verificamos: $(3/2)^3 + (3/2)^3 - 3(3/2)(3/2) = \frac{27}{8} + \frac{27}{8} - \frac{27}{4} = \frac{27}{4} - \frac{27}{4} = 0$ ✓

Derivando: $3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} - 3y - 3x\frac{dy}{dx} = 0$

$3x^2 - 3y + \frac{dy}{dx}(3y^2 - 3x) = 0$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

En $(3/2, 3/2)$: $\frac{dy}{dx} = \frac{3/2 - (3/2)^2}{(3/2)^2 - 3/2} = \frac{3/2 - 9/4}{9/4 - 3/2} = \frac{-3/4}{3/4} = -1$

Ecuación de la tangente: $y - \frac{3}{2} = -1(x - \frac{3}{2})$

$y = -x + 3$

Verificamos: $2 \cdot 4 = 8$ ✓

Derivando: $y + x\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$

En $(2, 4)$: $\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{2} = -2$

Ecuación de la tangente: $y - 4 = -2(x - 2)$

$y = -2x + 8$

Variables:

• $h$: altura del agua (m)
• $r$: radio de la superficie del agua (m)
• $V$: volumen del agua (m³)
• $t$: tiempo (min)

Datos: $\frac{dV}{dt} = 2$ m³/min, queremos $\frac{dh}{dt}$ cuando $h = 2$ m

Por semejanza de triángulos: $\frac{r}{h} = \frac{3}{4}$

Por tanto: $r = \frac{3h}{4}$

Volumen del cono: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Sustituyendo: $V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{3h}{4}\right)^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{9h^2}{16} \cdot h = \frac{3\pi h^3}{16}$

$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}\left[\frac{3\pi h^3}{16}\right] = \frac{3\pi}{16} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{9\pi h^2}{16}\frac{dh}{dt}$

$2 = \frac{9\pi h^2}{16}\frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt} = \frac{32}{9\pi h^2}$

Cuando $h = 2$ m:

$\frac{dh}{dt} = \frac{32}{9\pi \cdot 4} = \frac{32}{36\pi} = \frac{8}{9\pi}$ m/min

Comprobación:

Con $h = 2$ m y $\frac{dh}{dt} = \frac{8}{9\pi}$ m/min: $\frac{9\pi \cdot 2^2}{16} \cdot \frac{8}{9\pi} = \frac{4 \cdot 8}{16} = 2$ m³/min ✓ (unidades: m² · m/min = m³/min)

Respuesta: El nivel del agua sube a $\frac{8}{9\pi} \approx 0.283$ m/min cuando $h = 2$ m