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Matemáticas I · Tema 7 · Sección 7.1

Ejercicios resueltos de derivadas directas

4 ejercicios resueltos paso a paso del tema 7 de Matemáticas I (Cálculo diferencial). El enunciado está a la vista y la solución, plegada: intenta cada ejercicio antes de abrirla.

  • derivadas
  • cálculo directo
  • definición
  • reglas básicas
  • pendiente
Practicar en la appTeoría en el manual (p. 157)

Ejercicio 1

Dificultad: Básico

Calcular las derivadas de las siguientes funciones usando las reglas básicas:

a) f(x)=4x5−2x3+6x−9f(x) = 4x^5 - 2x^3 + 6x - 9

b) g(x)=3x4+2xg(x) = \frac{3}{x^4} + 2\sqrt{x}

c) h(x)=ex−ln⁡xh(x) = e^x - \ln x

d) k(x)=sin⁡x+tan⁡xk(x) = \sin x + \tan x

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  1. Paso 1
    Derivar f(x)=4x5−2x3+6x−9f(x) = 4x^5 - 2x^3 + 6x - 9

    Aplicando la regla de la potencia y la linealidad:

    f′(x)=4⋅5x4−2⋅3x2+6⋅1−0=20x4−6x2+6f'(x) = 4 \cdot 5x^4 - 2 \cdot 3x^2 + 6 \cdot 1 - 0 = 20x^4 - 6x^2 + 6

  2. Paso 2
    Derivar g(x)=3x4+2xg(x) = \frac{3}{x^4} + 2\sqrt{x}

    Reescribir: g(x)=3x−4+2x1/2g(x) = 3x^{-4} + 2x^{1/2}

    g′(x)=3⋅(−4)x−5+2⋅12x−1/2=−12x−5+x−1/2=−12x5+1xg'(x) = 3 \cdot (-4)x^{-5} + 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = -12x^{-5} + x^{-1/2} = -\frac{12}{x^5} + \frac{1}{\sqrt{x}}

  3. Paso 3
    Derivar h(x)=ex−ln⁡xh(x) = e^x - \ln x

    h′(x)=ex−1xh'(x) = e^x - \frac{1}{x}

  4. Paso 4
    Derivar k(x)=sin⁡x+tan⁡xk(x) = \sin x + \tan x

    k′(x)=cos⁡x+sec⁡2xk'(x) = \cos x + \sec^2 x

Ejercicio 2

Dificultad: Intermedio

Encontrar las derivadas y evaluar en los puntos indicados:

a) f(x)=3x4−x2+5f(x) = 3x^4 - x^2 + 5 en x=2x = 2

b) g(x)=2x3+4xg(x) = \frac{2}{x^3} + 4\sqrt{x} en x=4x = 4

c) h(x)=2ex+3cos⁡xh(x) = 2e^x + 3\cos x en x=0x = 0

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  1. Paso 1
    Para f(x)=3x4−x2+5f(x) = 3x^4 - x^2 + 5

    f′(x)=12x3−2xf'(x) = 12x^3 - 2x

    f′(2)=12(2)3−2(2)=12(8)−4=96−4=92f'(2) = 12(2)^3 - 2(2) = 12(8) - 4 = 96 - 4 = 92

  2. Paso 2
    Para g(x)=2x3+4x=2x−3+4x1/2g(x) = \frac{2}{x^3} + 4\sqrt{x} = 2x^{-3} + 4x^{1/2}

    g′(x)=2(−3)x−4+4⋅12x−1/2=−6x−4+2x−1/2g'(x) = 2(-3)x^{-4} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = -6x^{-4} + 2x^{-1/2}

    g′(4)=−6(4)−4+2(4)−1/2=−6256+22=−3128+1=125128g'(4) = -6(4)^{-4} + 2(4)^{-1/2} = -\frac{6}{256} + \frac{2}{2} = -\frac{3}{128} + 1 = \frac{125}{128}

  3. Paso 3
    Para h(x)=2ex+3cos⁡xh(x) = 2e^x + 3\cos x

    h′(x)=2ex−3sin⁡xh'(x) = 2e^x - 3\sin x

    h′(0)=2e0−3sin⁡0=2(1)−3(0)=2h'(0) = 2e^0 - 3\sin 0 = 2(1) - 3(0) = 2

Ejercicio 3

Dificultad: Avanzado

Derivar las siguientes funciones trigonométricas e hiperbólicas:

a) f(x)=2sin⁡x−3cos⁡x+tan⁡xf(x) = 2\sin x - 3\cos x + \tan x

b) g(x)=csc⁡x+cot⁡xg(x) = \csc x + \cot x

c) h(x)=sinh⁡x−cosh⁡xh(x) = \sinh x - \cosh x (funciones hiperbólicas)

d) k(x)=arcsin⁡x+arctan⁡xk(x) = \arcsin x + \arctan x (funciones inversas)

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  1. Paso 1
    Para f(x)=2sin⁡x−3cos⁡x+tan⁡xf(x) = 2\sin x - 3\cos x + \tan x

    f′(x)=2cos⁡x−3(−sin⁡x)+sec⁡2x=2cos⁡x+3sin⁡x+sec⁡2xf'(x) = 2\cos x - 3(-\sin x) + \sec^2 x = 2\cos x + 3\sin x + \sec^2 x

  2. Paso 2
    Para g(x)=csc⁡x+cot⁡xg(x) = \csc x + \cot x

    g′(x)=−csc⁡xcot⁡x+(−csc⁡2x)=−csc⁡xcot⁡x−csc⁡2xg'(x) = -\csc x \cot x + (-\csc^2 x) = -\csc x \cot x - \csc^2 x

  3. Paso 3
    Para h(x)=sinh⁡x−cosh⁡xh(x) = \sinh x - \cosh x

    Recordando que ddx[sinh⁡x]=cosh⁡x\frac{d}{dx}[\sinh x] = \cosh x y ddx[cosh⁡x]=sinh⁡x\frac{d}{dx}[\cosh x] = \sinh x:

    h′(x)=cosh⁡x−sinh⁡xh'(x) = \cosh x - \sinh x

  4. Paso 4
    Para k(x)=arcsin⁡x+arctan⁡xk(x) = \arcsin x + \arctan x

    k′(x)=11−x2+11+x2k'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{1+x^2}

Ejercicio 4

Dificultad: Experto

Demostrar usando la definición de derivada que ddx[xn]=nxn−1\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} para n=3n = 3, y luego generalizar el resultado para cualquier potencia racional n=pqn = \frac{p}{q}

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  1. Paso 1
    Demostración para n=3n = 3 usando la definición

    f(x)=x3f(x) = x^3, queremos probar que f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2

    f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→0(x+h)3−x3hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h}

  2. Paso 2
    Expandir (x+h)3(x+h)^3

    (x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3

    f′(x)=lim⁡h→0x3+3x2h+3xh2+h3−x3hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h}

  3. Paso 3
    Simplificar y evaluar el límite

    f′(x)=lim⁡h→03x2h+3xh2+h3h=lim⁡h→0(3x2+3xh+h2)f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2)

    f′(x)=3x2+3x(0)+02=3x2f'(x) = 3x^2 + 3x(0) + 0^2 = 3x^2 ✓

  4. Paso 4
    Generalización para n=pqn = \frac{p}{q} (potencias racionales)

    Primero el caso n=1qn = \frac{1}{q}: si y=x1/qy = x^{1/q} (con x>0x > 0), entonces yq=xy^q = x. Derivando implícitamente, q yq−1dydx=1q\,y^{q-1}\frac{dy}{dx} = 1, luego dydx=1q yq−1=1qx−(q−1)/q=1qx1/q−1\frac{dy}{dx} = \frac{1}{q\,y^{q-1}} = \frac{1}{q}x^{-(q-1)/q} = \frac{1}{q}x^{1/q-1}

    Ahora, para f(x)=xp/qf(x) = x^{p/q}, usando la regla de la cadena con u=x1/qu = x^{1/q} y el caso anterior:

    Sea y=xp/q=(x1/q)py = x^{p/q} = (x^{1/q})^p

    dydx=p(x1/q)p−1⋅1qx1/q−1=pqxp/q−1\frac{dy}{dx} = p(x^{1/q})^{p-1} \cdot \frac{1}{q}x^{1/q-1} = \frac{p}{q}x^{p/q-1}

    Por tanto, ddx[xn]=nxn−1\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} para cualquier nn racional.