Ejercicios resueltos de regla de la cadena

Sea $u = 3x^2 + 2$, entonces $f(x) = u^4$

$\frac{du}{dx} = 6x$ y $\frac{df}{du} = 4u^3$

$f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4u^3 \cdot 6x = 4(3x^2 + 2)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 2)^3$

Sea $u = 2x - 1$, entonces $g(x) = e^u$

$\frac{du}{dx} = 2$ y $\frac{dg}{du} = e^u$

$g'(x) = e^u \cdot 2 = 2e^{2x-1}$

Sea $u = x^2 + 5$, entonces $h(x) = u^{1/2}$

$\frac{du}{dx} = 2x$ y $\frac{dh}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2}$

$h'(x) = \frac{1}{2}u^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}$

Sea $u = 4x + \pi/3$, entonces $k(x) = \sin u$

$\frac{du}{dx} = 4$ y $\frac{dk}{du} = \cos u$

$k'(x) = \cos u \cdot 4 = 4\cos(4x + \pi/3)$

Composición: $f(x) = e^u$ donde $u = \sin(v)$ y $v = x^2$

$\frac{dv}{dx} = 2x$, $\frac{du}{dv} = \cos v = \cos(x^2)$, $\frac{df}{du} = e^u = e^{\sin(x^2)}$

$f'(x) = e^{\sin(x^2)} \cdot \cos(x^2) \cdot 2x = 2xe^{\sin(x^2)}\cos(x^2)$

Sea $u = \cos(3x)$, entonces $g(x) = \ln u$

$\frac{du}{dx} = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$

$\frac{dg}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{\cos(3x)}$

$g'(x) = \frac{1}{\cos(3x)} \cdot (-3\sin(3x)) = -3\tan(3x)$

$\ln h(x) = \sin x \cdot \ln(e^x + 1)$

$\frac{1}{h(x)} \cdot h'(x) = \cos x \cdot \ln(e^x + 1) + \sin x \cdot \frac{e^x}{e^x + 1}$

$h'(x) = (e^x + 1)^{\sin x} \left[\cos x \cdot \ln(e^x + 1) + \sin x \cdot \frac{e^x}{e^x + 1}\right]$

Sea $w = 2x^3 + 1$, $u = \tan w$, entonces $k(x) = u^{1/2}$

$\frac{dw}{dx} = 6x^2$, $\frac{du}{dw} = \sec^2 w$, $\frac{dk}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2}$

$k'(x) = \frac{1}{2}[\tan(2x^3 + 1)]^{-1/2} \cdot \sec^2(2x^3 + 1) \cdot 6x^2$

$= \frac{3x^2 \sec^2(2x^3 + 1)}{\sqrt{\tan(2x^3 + 1)}}$

$u = x^2 \Rightarrow u' = 2x$

$v = e^{-x^2} \Rightarrow v' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$ (cadena)

$f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot e^{-x^2} + x^2 \cdot (-2xe^{-x^2})$

$= 2xe^{-x^2} - 2x^3e^{-x^2} = 2xe^{-x^2}(1 - x^2)$

$u = \sin(x^2) \Rightarrow u' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$ (cadena)

$v = x^3 + 1 \Rightarrow v' = 3x^2$

$g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x\cos(x^2)(x^3+1) - \sin(x^2)(3x^2)}{(x^3+1)^2}$

$= \frac{2x\cos(x^2)(x^3+1) - 3x^2\sin(x^2)}{(x^3+1)^2}$

Sea $w = (x+1)^2 \cdot e^x$, entonces $h(x) = w^{1/3}$

Primero encontramos $w'$ usando la regla del producto:

$w = (x+1)^2 \cdot e^x$

$w' = 2(x+1) \cdot e^x + (x+1)^2 \cdot e^x = e^x[(x+1)(2 + x + 1)] = e^x(x+1)(x+3)$

Luego aplicamos la cadena:

$h'(x) = \frac{1}{3}w^{-2/3} \cdot w' = \frac{1}{3}[(x+1)^2 \cdot e^x]^{-2/3} \cdot e^x(x+1)(x+3)$

$= \frac{e^x(x+1)(x+3)}{3[(x+1)^2 \cdot e^x]^{2/3}} = \frac{(x+3)\,e^{x/3}}{3(x+1)^{1/3}}$ (para $x > -1$)

Sean $y = f(g(x))$, donde $u = g(x)$ e $y = f(u)$

Queremos demostrar que $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

Por definición: $\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Si $g(x)$ es derivable en $x$ y $f(u)$ es derivable en $u = g(x)$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$ (cuando $\Delta u \neq 0$)

Cuando $\Delta u = 0$, tenemos $\Delta y = f(u + \Delta u) - f(u) = f(u) - f(u) = 0$

Definimos: $\eta(\Delta u) = \frac{\Delta y}{\Delta u} - f'(u)$ cuando $\Delta u \neq 0$, y $\eta(0) = 0$

Entonces: $\Delta y = [f'(u) + \eta(\Delta u)] \Delta u$

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = [f'(u) + \eta(\Delta u)] \frac{\Delta u}{\Delta x}$

Tomando límite cuando $\Delta x \to 0$:

Como $g$ es derivable, $\Delta u \to 0$ cuando $\Delta x \to 0$

Por continuidad de $\eta$ en 0, $\eta(\Delta u) \to \eta(0) = 0$

$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} [f'(u) + \eta(\Delta u)] \frac{\Delta u}{\Delta x} = f'(u) \cdot g'(x) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

Sea $u = x^3$, entonces $f(x) = \sin u$

$\frac{du}{dx} = 3x^2$ y $\frac{df}{du} = \cos u = \cos(x^3)$

$f'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2 = 3x^2\cos(x^3)$

Verificación directa usando definición:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin((x+h)^3) - \sin(x^3)}{h}$

Usando la identidad: $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

El límite da el mismo resultado: $3x^2\cos(x^3)$ ✓