Ejercicios resueltos de integrales indefinidas directas

Aplicando la linealidad y la regla de potencias:

$\int (4x^3 - 6x + 2) dx = 4\int x^3 dx - 6\int x dx + 2\int dx$

$= 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + C = x^4 - 3x^2 + 2x + C$

$\int (3e^x - 2\cos x) dx = 3\int e^x dx - 2\int \cos x dx$

$= 3e^x - 2\sin x + C$

Reescribiendo: $\int \frac{3}{x^2} dx = \int 3x^{-2} dx = 3\int x^{-2} dx$

$= 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{3}{x} + C$

Resultados:

a) $x^4 - 3x^2 + 2x + C$

b) $3e^x - 2\sin x + C$

c) $-\frac{3}{x} + C$

$p(t) = \int (50t + 120) dt = 50\int t dt + 120\int dt$

$= 50 \cdot \frac{t^2}{2} + 120t + C = 25t^2 + 120t + C$

En $t = 0$: $p(0) = 300$

$300 = 25(0)^2 + 120(0) + C$

$C = 300$

$p(t) = 25t^2 + 120t + 300$ unidades

Verificación: $\frac{dp}{dt} = 50t + 120$ ✓

Interpretación: La producción acumulada crece cuadráticamente con el tiempo debido a la aceleración constante de 50 unidades/h².

$\int x^{3/2} dx = \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} + C = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2x^{5/2}}{5} + C$

Reescribiendo: $\int (2x^{1/2} + x^{-1/2}) dx$

$= 2\int x^{1/2} dx + \int x^{-1/2} dx$

$= 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$

$= \frac{4x^{3/2}}{3} + 2x^{1/2} + C = \frac{4x\sqrt{x}}{3} + 2\sqrt{x} + C$

$\int (\sin x + \frac{1}{1+x^2}) dx = \int \sin x dx + \int \frac{1}{1+x^2} dx$

$= -\cos x + \arctan x + C$

Resultados:

a) $\frac{2x^{5/2}}{5} + C$

b) $\frac{4x\sqrt{x}}{3} + 2\sqrt{x} + C$

c) $-\cos x + \arctan x + C$

Sean $F(x)$ y $G(x)$ dos primitivas de $f(x)$, entonces:

$F'(x) = f(x)$ y $G'(x) = f(x)$

Sea $H(x) = F(x) - G(x)$

$H'(x) = \frac{d}{dx}[F(x) - G(x)] = F'(x) - G'(x)$

$H'(x) = f(x) - f(x) = 0$

Si $H'(x) = 0$ para todo $x$ en un intervalo, entonces $H(x)$ debe ser constante en ese intervalo.

$H(x) = F(x) - G(x) = C$ (constante)

Interpretación: Todas las primitivas de una función difieren únicamente en una constante, lo que justifica la constante de integración en la integral indefinida.