Ejercicios resueltos de optimización simple

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$

Puntos críticos: $x = 1$ y $x = 3$

$f''(x) = 6x - 12$

En $x = 1$: $f''(1) = -6 < 0 \Rightarrow$ máximo local

$f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$

En $x = 3$: $f''(3) = 6 > 0 \Rightarrow$ mínimo local

$f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$

$g'(x) = 8x^3 - 8x = 8x(x^2 - 1) = 8x(x-1)(x+1)$

Puntos críticos: $x = -1, 0, 1$

$g''(x) = 24x^2 - 8$

En $x = -1$: $g''(-1) = 24 - 8 = 16 > 0 \Rightarrow$ mínimo local

$g(-1) = 2 - 4 + 3 = 1$

En $x = 0$: $g''(0) = -8 < 0 \Rightarrow$ máximo local

$g(0) = 3$

En $x = 1$: $g''(1) = 16 > 0 \Rightarrow$ mínimo local

$g(1) = 1$

$h'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$

Punto crítico: $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$

$h''(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(-1+x-1) = e^{-x}(x-2)$

En $x = 1$: $h''(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} < 0 \Rightarrow$ máximo local

$h(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$

Sean los números $x$ e $y$ con $x + y = 20$

Producto: $P = xy = x(20-x) = 20x - x^2$

$P'(x) = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10$

$P''(x) = -2 < 0 \Rightarrow$ máximo

Los números son $x = 10$ e $y = 10$. Producto máximo: $P = 100$

Sea $x$ la longitud y $y$ el ancho. Perímetro: $2x + 2y = 100 \Rightarrow y = 50 - x$

Área: $A(x) = xy = x(50-x) = 50x - x^2$

$A'(x) = 50 - 2x = 0 \Rightarrow x = 25$ cm

$A''(x) = -2 < 0 \Rightarrow$ máximo

Dimensiones: $25 \times 25$ cm (cuadrado). Área máxima: $625$ cm²

Sea $x$ la longitud para el círculo, entonces $120-x$ para el cuadrado

Círculo: perímetro $= x \Rightarrow$ radio $r = \frac{x}{2\pi} \Rightarrow$ área $A_1 = \pi r^2 = \frac{x^2}{4\pi}$

Cuadrado: perímetro $= 120-x \Rightarrow$ lado $= \frac{120-x}{4} \Rightarrow$ área $A_2 = \left(\frac{120-x}{4}\right)^2$

Área total: $A(x) = \frac{x^2}{4\pi} + \frac{(120-x)^2}{16}$

$A'(x) = \frac{x}{2\pi} + \frac{2(120-x)(-1)}{16} = \frac{x}{2\pi} - \frac{120-x}{8}$

$A'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x}{2\pi} = \frac{120-x}{8}$

$\frac{4x}{\pi} = 120 - x \Rightarrow x\left(\frac{4}{\pi} + 1\right) = 120$

$x = \frac{120\pi}{4+\pi} \approx 52.8$ cm para el círculo

$120 - x \approx 67.2$ cm para el cuadrado

De la restricción: $y = 10 - x$

$f(x) = x(10-x) = 10x - x^2$

$f'(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5$

$f''(x) = -2 < 0 \Rightarrow$ máximo

Solución: $x = 5, y = 5$. Valor máximo: $25$

Distancia del punto $(0{,}0)$ a la recta: $d = \frac{|3(0) + 4(0) - 25|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{25}{5} = 5$

Alternativamente, minimizar $D^2 = x^2 + y^2$ sujeto a $3x + 4y = 25$:

$y = \frac{25 - 3x}{4}$

$D^2(x) = x^2 + \left(\frac{25-3x}{4}\right)^2 = x^2 + \frac{(25-3x)^2}{16}$

$\frac{d(D^2)}{dx} = 2x + \frac{2(25-3x)(-3)}{16} = 2x - \frac{3(25-3x)}{8} = 0$

$16x - 3(25-3x) = 0 \Rightarrow 16x - 75 + 9x = 0 \Rightarrow 25x = 75 \Rightarrow x = 3$

$y = \frac{25-9}{4} = 4$

Distancia mínima: $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

Triángulo con vértices en $(0{,}0)$, $(6{,}0)$, $(0{,}8)$

Ecuación de la hipotenusa: $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1 \Rightarrow y = 8 - \frac{4x}{3}$

Rectángulo con vértice en $(x, 8-\frac{4x}{3})$

Área: $A(x) = x \cdot \left(8 - \frac{4x}{3}\right) = 8x - \frac{4x^2}{3}$

$A'(x) = 8 - \frac{8x}{3} = 0 \Rightarrow x = 3$

$y = 8 - \frac{4(3)}{3} = 4$

Dimensiones del rectángulo: $3 \times 4$. Área máxima: $12$

Supongamos que $f$ tiene un máximo local en $x = a$ y es derivable en $a$.

Por definición de máximo local, existe $\delta > 0$ tal que $f(x) \leq f(a)$ para todo $x \in (a-\delta, a+\delta)$.

Para $h > 0$ suficientemente pequeño:

$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \leq 0$ (porque $f(a+h) \leq f(a)$)

Para $h < 0$ suficientemente pequeño:

$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \geq 0$ (porque $f(a+h) \leq f(a)$ y $h < 0$)

Como $f$ es derivable en $a$:

$f'(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \leq 0$

$f'(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \geq 0$

Por tanto, $f'(a) = 0$.

(Demostración similar para mínimo local)

Beneficio: $B(x) = R(x) - C(x) = 75x - (x^3 - 12x^2 + 45x + 100)$

$B(x) = -x^3 + 12x^2 + 30x - 100$

$B'(x) = -3x^2 + 24x + 30 = -3(x^2 - 8x - 10)$

Puntos críticos: $x^2 - 8x - 10 = 0$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 40}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{104}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{26}}{2} = 4 \pm \sqrt{26}$

Como $x > 0$: $x = 4 + \sqrt{26} \approx 9.1$ unidades

$B''(x) = -6x + 24$

$B''(4 + \sqrt{26}) = -6(4 + \sqrt{26}) + 24 = -6\sqrt{26} < 0 \Rightarrow$ máximo

Nivel óptimo de producción: $x = 4 + \sqrt{26} \approx 9.1$ unidades

Beneficio máximo: $B(4 + \sqrt{26}) = 148 + 52\sqrt{26} \approx 413{,}1$ unidades monetarias