Matemáticas I · Tema 6 · Sección 6.6

Ejercicios resueltos de funciones de varias variables

5 ejercicios resueltos paso a paso del tema 6 de Matemáticas I (Funciones y límites). El enunciado está a la vista y la solución, plegada: intenta cada ejercicio antes de abrirla.

dominio en el plano
curvas de nivel
límites por caminos
isocuantas
continuidad

Practicar en la app Teoría en el manual (p. 129)

Ejercicio 1

Dificultad: Básico

Evaluar las siguientes funciones en los puntos indicados:

a) $f(x, y) = x^2y - 3y + 2$ en $(2, -1)$ y en $(0, 3)$

b) $g(x, y, z) = xy + yz + zx$ en $(1, 2, 3)$

c) El coste de fabricar $x$ unidades del producto A e $y$ unidades del producto B es $C(x, y) = 2000 + 15x + 22y$ euros. Calcular $C(100, 50)$ e interpretar cada término

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Paso 1
$f(2, -1) = (2)^2(-1) - 3(-1) + 2 = -4 + 3 + 2 = 1$
$f(0, 3) = 0 - 9 + 2 = -7$
Paso 2
$g(1, 2, 3) = (1)(2) + (2)(3) + (3)(1) = 2 + 6 + 3 = 11$
Paso 3
$C(100, 50) = 2000 + 15(100) + 22(50) = 2000 + 1500 + 1100 = 4600$ euros
Interpretación: 2000 € son costes fijos (se pagan aunque no se fabrique nada), 15 € es el coste de cada unidad de A y 22 € el de cada unidad de B.

Ejercicio 2

Dificultad: Básico

Determinar y describir geométricamente el dominio de:

a) $f(x, y) = \sqrt{x - y^2}$

b) $g(x, y) = \ln(4 - x^2 - y^2)$

c) $h(x, y) = \dfrac{1}{xy}$

d) $k(x, y) = \sqrt{1 - x^2} + \sqrt{1 - y^2}$

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Paso 1
Para $f$ necesitamos $x - y^2 \geq 0 \iff x \geq y^2$ . Es la región situada a la derecha de la parábola $x = y^2$ , incluida la parábola.
Paso 2
Para $g$ necesitamos $4 - x^2 - y^2 > 0 \iff x^2 + y^2 < 4$ . Es el disco abierto de centro el origen y radio 2 (sin la circunferencia).
Paso 3
Para $h$ necesitamos $xy \neq 0$ , es decir, $x \neq 0$ e $y \neq 0$ . Es todo el plano excepto los dos ejes coordenados.
Paso 4
Para $k$ necesitamos a la vez $1 - x^2 \geq 0$ y $1 - y^2 \geq 0$ , es decir, $-1 \leq x \leq 1$ y $-1 \leq y \leq 1$ . Es el cuadrado $[-1, 1] \times [-1, 1]$ .

Ejercicio 3

Dificultad: Intermedio

Describir las curvas de nivel $f(x, y) = k$ de las siguientes funciones:

a) $f(x, y) = x + 2y$

b) $g(x, y) = x^2 + y^2$

c) $h(x, y) = y - x^2$

d) Una empresa compra dos materias primas a 20 €/kg y 50 €/kg. Describir la $\textit{recta de isocoste}$ de 1000 €, es decir, las combinaciones $(x, y)$ de kilos que cuestan exactamente 1000 €

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Paso 1
$x + 2y = k \iff y = \dfrac{k - x}{2}$ : rectas paralelas de pendiente $-\frac{1}{2}$ .
Paso 2
$x^2 + y^2 = k$ : si $k > 0$ , circunferencias de centro el origen y radio $\sqrt{k}$ ; si $k = 0$ , solo el punto $(0, 0)$ ; si $k < 0$ , no hay puntos.
Paso 3
$y - x^2 = k \iff y = x^2 + k$ : parábolas iguales a $y = x^2$ desplazadas verticalmente $k$ unidades.
Paso 4
La isocoste es $20x + 50y = 1000$ , un segmento de recta (con $x, y \geq 0$ ) que corta a los ejes en $(50, 0)$ y $(0, 20)$ : se pueden comprar 50 kg solo de la primera, 20 kg solo de la segunda o cualquier combinación intermedia, por ejemplo $(25, 10)$ .

Ejercicio 4

Dificultad: Avanzado

Calcular los siguientes límites o demostrar que no existen:

a) $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (2{,}1)} \frac{x^2 - y^2}{x + y}$

b) $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0{,}0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$

c) $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0{,}0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$

d) $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0{,}0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$

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Paso 1
En $(2, 1)$ el denominador no se anula, así que la función es continua y basta sustituir: $\dfrac{4 - 1}{2 + 1} = 1$ . (También se puede simplificar: $\dfrac{(x - y)(x + y)}{x + y} = x - y \to 1$ .)
Paso 2
Por el eje $x$ ( $y = 0$ ): $\dfrac{x^2}{x^2} = 1$ . Por el eje $y$ ( $x = 0$ ): $\dfrac{-y^2}{y^2} = -1$ . Como $1 \neq -1$ , el límite no existe.
Paso 3
Por cualquier recta $y = mx$ : $\dfrac{m x^3}{x^4 + m^2 x^2} = \dfrac{m x}{x^2 + m^2} \to 0$ . Pero por la parábola $y = x^2$ : $\dfrac{x^4}{x^4 + x^4} = \dfrac{1}{2}$ . El límite no existe.
Lección: que el límite valga lo mismo por todas las rectas no garantiza que exista.
Paso 4
En coordenadas polares, $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$ :
$\dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2} = \dfrac{r^3 \cos^2\theta \sin\theta}{r^2} = r \cos^2\theta \sin\theta$
Como $|\cos^2\theta \sin\theta| \leq 1$ , el valor absoluto es como mucho $r$ , que tiende a 0 sea cual sea el camino. El límite existe y vale 0.

Ejercicio 5

Dificultad: Experto

Una planta de ensamblaje produce $P(K, L) = 5\sqrt{KL}$ unidades por semana, donde $K$ son las horas de máquina y $L$ las horas de trabajo.

a) Calcular $P(36, 16)$

b) Encontrar la ecuación de la isocuanta de esa producción y comprobar que $(24, 24)$ y $(48, 12)$ pertenecen a ella

c) Demostrar que si se duplican ambos recursos, la producción se duplica

d) Si la hora de máquina cuesta 30 € y la de trabajo 20 €, ¿cuál de las tres combinaciones anteriores es la más barata?

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Paso 1
$P(36, 16) = 5\sqrt{576} = 5 \cdot 24 = 120$ unidades
Paso 2
Isocuanta: $5\sqrt{KL} = 120 \iff KL = 576$
$(24)(24) = 576$ ✓ y $(48)(12) = 576$ ✓
Paso 3
$P(2K, 2L) = 5\sqrt{4KL} = 2 \cdot 5\sqrt{KL} = 2P(K, L)$ . La función tiene $\textit{rendimientos constantes a escala}$ .
Paso 4
Coste $C = 30K + 20L$ :
$(36, 16)$ : $1080 + 320 = 1400$ €
$(24, 24)$ : $720 + 480 = 1200$ €
$(48, 12)$ : $1440 + 240 = 1680$ €
La más barata de las tres es $(24, 24)$ . Pero no es el óptimo absoluto: en los ejercicios de optimización con multiplicadores de Lagrange veremos que la combinación más barata sobre la isocuanta es $K \approx 19{,}6$ , $L \approx 29{,}4$ , con un coste de unos 1175,76 €.