Matemáticas I · Tema 6 · Sección 6.2

Ejercicios resueltos de dominio de funciones

4 ejercicios resueltos paso a paso del tema 6 de Matemáticas I (Funciones y límites). El enunciado está a la vista y la solución, plegada: intenta cada ejercicio antes de abrirla.

dominio
restricciones
función racional
raíz cuadrada
logaritmo

Practicar en la app Teoría en el manual (p. 134)

Ejercicio 1

Dificultad: Básico

Encontrar el dominio de las siguientes funciones:

a) $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 5}$

b) $g(x) = \sqrt{3x - 6}$

c) $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2}}$ .

Ver solución paso a paso3 pasos

Paso 1
Dominio de $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 5}$
El denominador no puede ser cero: $x - 5 \neq 0$
Por tanto: $x \neq 5$
Dominio: $(-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$
Paso 2
Dominio de $g(x) = \sqrt{3x - 6}$
La expresión bajo la raíz debe ser no negativa:
$3x - 6 \geq 0$
$3x \geq 6$
$x \geq 2$
Dominio: $[2, +\infty)$
Paso 3
Dominio de $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2}}$
Dos condiciones:
- La expresión bajo la raíz debe ser positiva: $x + 2 > 0$
- El denominador no puede ser cero (automáticamente cumplido si $x + 2 > 0$ )
$x > -2$
Dominio: $(-2, +\infty)$

Ejercicio 2

Dificultad: Intermedio

Una función de eficiencia de un motor está dada por $\eta(P) = \frac{\sqrt{P - 10}}{P^2 - 100}$ donde $P$ es la potencia en kW. Encontrar el dominio físicamente significativo.

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Paso 1
Condiciones matemáticas
Para $\sqrt{P - 10}$ : $P - 10 \geq 0 \Rightarrow P \geq 10$
Para $\frac{1}{P^2 - 100}$ : $P^2 - 100 \neq 0 \Rightarrow P^2 \neq 100 \Rightarrow P \neq \pm 10$
Paso 2
Combinar condiciones
$P \geq 10$ y $P \neq 10$ implica $P > 10$
También $P \neq -10$ , pero esto ya está excluido por $P > 10$
Paso 3
Consideraciones físicas
La potencia debe ser positiva en contextos industriales: $P > 0$
La condición $P > 10$ es más restrictiva.
Dominio: $(10, +\infty)$ kW
Interpretación: El motor requiere al menos 10 kW para funcionar, y exactamente a 10 kW la eficiencia no está definida (posiblemente punto crítico de operación).

Ejercicio 3

Dificultad: Avanzado

Determinar el dominio de $f(x) = \ln(x^2 - 4) + \frac{1}{x - 3}$ y expresarlo usando notación de intervalos.

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Paso 1
Condición del logaritmo
$\ln(x^2 - 4)$ requiere: $x^2 - 4 > 0$
$(x - 2)(x + 2) > 0$
Análisis de signos:
- $x < -2$ : $(-)(-) = (+)$ ✓
- $-2 < x < 2$ : $(-)(+) = (-)$ ✗
- $x > 2$ : $(+)(+) = (+)$ ✓
Resultado: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$
Paso 2
Condición de la fracción
$\frac{1}{x - 3}$ requiere: $x - 3 \neq 0$
Por tanto: $x \neq 3$
Paso 3
Intersección de condiciones
Dominio del logaritmo: $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$
Restricción adicional: $x \neq 3$
Como $3 \in (2, +\infty)$ , debemos excluirlo:
Dominio final: $(-\infty, -2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty)$

Ejercicio 4

Dificultad: Experto

Para la función $g(t) = \frac{\sqrt{4 - t^2}}{|t - 1| \cdot (t + 3)}$ , encontrar su dominio y analizar los puntos problemáticos.

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Paso 1
Condición de la raíz cuadrada
$\sqrt{4 - t^2}$ requiere: $4 - t^2 \geq 0$
$t^2 \leq 4$
$-2 \leq t \leq 2$
Paso 2
Condiciones del denominador
$|t - 1| \neq 0 \Rightarrow t \neq 1$
$(t + 3) \neq 0 \Rightarrow t \neq -3$
Paso 3
Combinar todas las condiciones
- De la raíz: $t \in [-2, 2]$
- Excluir: $t \neq 1$ y $t \neq -3$
Como $-3 \notin [-2, 2]$ , solo necesitamos excluir $t = 1$ :
Dominio: $[-2, 1) \cup (1, 2]$
Análisis de puntos problemáticos:
- En $t = 1$ : Discontinuidad infinita (denominador se anula)
- En $t = \pm 2$ : Función se anula (numerador se anula)
- En $t = -3$ : Fuera del dominio por la raíz cuadrada