Matemáticas I · Tema 6 · Sección 6.1

Ejercicios resueltos de evaluación de funciones

4 ejercicios resueltos paso a paso del tema 6 de Matemáticas I (Funciones y límites). El enunciado está a la vista y la solución, plegada: intenta cada ejercicio antes de abrirla.

funciones
evaluación
dominio
rango
notación

Practicar en la app Teoría en el manual (p. 134)

Ejercicio 1

Dificultad: Básico

Dada la función $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ , calcular $f(-2)$ , $f(0)$ , y $f(3)$ .

Ver solución paso a paso3 pasos

Paso 1
Calcular $f(-2)$
$f(-2) = 3(-2)^2 - 2(-2) + 5 = 3(4) + 4 + 5 = 12 + 4 + 5 = 21$
Paso 2
Calcular $f(0)$
$f(0) = 3(0)^2 - 2(0) + 5 = 0 - 0 + 5 = 5$
Paso 3
Calcular $f(3)$
$f(3) = 3(3)^2 - 2(3) + 5 = 3(9) - 6 + 5 = 27 - 6 + 5 = 26$
Resultado: $f(-2) = 21$ , $f(0) = 5$ , $f(3) = 26$

Ejercicio 2

Dificultad: Intermedio

Una función de costo en una fábrica está dada por $C(x) = 0.5x^2 + 30x + 1500$ , donde $x$ es el número de unidades producidas. Calcular el costo de producir 50, 100 y 200 unidades.

Ver solución paso a paso3 pasos

Paso 1
Costo para 50 unidades
$C(50) = 0.5(50)^2 + 30(50) + 1500$
$C(50) = 0.5(2500) + 1500 + 1500 = 1250 + 1500 + 1500 = 4250$
Paso 2
Costo para 100 unidades
$C(100) = 0.5(100)^2 + 30(100) + 1500$
$C(100) = 0.5(10000) + 3000 + 1500 = 5000 + 3000 + 1500 = 9500$
Paso 3
Costo para 200 unidades
$C(200) = 0.5(200)^2 + 30(200) + 1500$
$C(200) = 0.5(40000) + 6000 + 1500 = 20000 + 6000 + 1500 = 27500$
Interpretación industrial: El costo medio por unidad es $\frac{C(x)}{x} = 0.5x + 30 + \frac{1500}{x}$ : vale 85, 95 y 137,5 para 50, 100 y 200 unidades. A partir de unas 55 unidades ( $x = \sqrt{3000}$ ) el costo por unidad crece con el volumen: el término cuadrático (saturación, horas extra, desgaste) pesa más que el reparto del costo fijo.

Ejercicio 3

Dificultad: Avanzado

La temperatura de un horno industrial sigue la función $T(t) = 100 + 500e^{-0.1t}$ donde $t$ está en minutos. Encontrar la temperatura en $t = 0$ , $t = 10$ , y $t = 30$ minutos.

Ver solución paso a paso3 pasos

Paso 1
Temperatura inicial ( $t = 0$ )
$T(0) = 100 + 500e^{-0.1(0)} = 100 + 500e^0 = 100 + 500(1) = 600°C$
Paso 2
Temperatura a los 10 minutos
$T(10) = 100 + 500e^{-0.1(10)} = 100 + 500e^{-1}$
$T(10) = 100 + 500(0.368) = 100 + 184 = 284°C$
Paso 3
Temperatura a los 30 minutos
$T(30) = 100 + 500e^{-0.1(30)} = 100 + 500e^{-3}$
$T(30) = 100 + 500(0.050) = 100 + 25 = 125°C$
Interpretación: El horno se enfría exponencialmente desde 600°C hacia una temperatura asintótica de 100°C.

Dada la función por tramos $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 0 \\ 2x + 1 & \text{si } 0 \leq x < 3 \\ 10 - x & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$ , evaluar $f(-2)$ , $f(1)$ , $f(3)$ , y $f(5)$ .

Ver solución paso a paso4 pasos

Paso 1
Evaluar $f(-2)$ (usa $x^2$ ya que $-2 < 0$ )
$f(-2) = (-2)^2 = 4$
Paso 2
Evaluar $f(1)$ (usa $2x + 1$ ya que $0 \leq 1 < 3$ )
$f(1) = 2(1) + 1 = 3$
Paso 3
Evaluar $f(3)$ (usa $10 - x$ ya que $3 \geq 3$ )
$f(3) = 10 - 3 = 7$
Paso 4
Evaluar $f(5)$ (usa $10 - x$ ya que $5 \geq 3$ )
$f(5) = 10 - 5 = 5$
Verificación: Se debe identificar correctamente el intervalo antes de aplicar la fórmula correspondiente.