Ejercicios resueltos de continuidad

Como $2 \geq 2$, usamos la segunda fórmula:

$f(2) = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3$

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 3) = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3$

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 3$

Conclusión: La función es continua en $x = 2$.

Como $8 \leq 8$, usamos la primera fórmula:

$C(8) = 100 + 50(8) = 100 + 400 = 500$

$\lim_{t \to 8^-} C(t) = \lim_{t \to 8^-} (100 + 50t) = 100 + 50(8) = 500$

$\lim_{t \to 8^+} C(t) = \lim_{t \to 8^+} (500 + 25t) = 500 + 25(8) = 500 + 200 = 700$

$\lim_{t \to 8^-} C(t) = 500 \neq 700 = \lim_{t \to 8^+} C(t)$

Conclusión: La función NO es continua en $t = 8$ debido a un salto discontinuo.

Interpretación industrial: Hay un cambio abrupto en la tarifa de operación después de 8 horas (posiblemente tarifa de horas extras).

Como $1 \leq 1$, usamos la primera fórmula:

$f(1) = k(1) + 3 = k + 3$

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (kx + 3) = k(1) + 3 = k + 3$

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + 2) = 1^2 + 2 = 3$

Para continuidad: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$

$k + 3 = 3$

$k = 0$

Con $k = 0$: $f(x) = \begin{cases} 3 & \text{si } x \leq 1 \\ x^2 + 2 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

$f(1) = 3$, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3$ ✓

Resultado: $k = 0$

La función no está definida donde $x - 3 = 0$, es decir, $x = 3$

Dominio: $(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$

Para $x \neq 3$, $g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$

Esta es una función lineal continua para todo $x \neq 3$.

$\lim_{x \to 3} g(x) = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6$

Aunque $g(3)$ no está definido, el límite existe.

En $x = 3$: Discontinuidad removible

• El límite existe: $\lim_{x \to 3} g(x) = 6$
• La función no está definida: $g(3)$ no existe
• Se puede "remover" definiendo $g(3) = 6$

Conclusión: $g(x)$ es continua en todo su dominio. Tiene una discontinuidad removible en $x = 3$.