Ejercicios resueltos de cálculo de límites

Esta es una función polinómica, continua en todo $\mathbb{R}$:

$\lim_{x \to 4} (3x - 7) = 3(4) - 7 = 12 - 7 = 5$

Forma indeterminada $\frac{0}{0}$. Factorizar el numerador:

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$ para $x \neq 1$

Por tanto: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$

Usar el límite fundamental $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5$

$\lim_{t \to +\infty} \frac{50t}{t^2 + 4}$

$\lim_{t \to +\infty} \frac{50t}{t^2 + 4} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\frac{50t}{t^2}}{\frac{t^2 + 4}{t^2}}$

$= \lim_{t \to +\infty} \frac{\frac{50}{t}}{1 + \frac{4}{t^2}}$

Cuando $t \to +\infty$: $\frac{50}{t} \to 0$ y $\frac{4}{t^2} \to 0$

Por tanto: $\lim_{t \to +\infty} C(t) = \frac{0}{1 + 0} = 0$

Interpretación industrial: A largo plazo, la concentración del reactivo tiende a cero, indicando que la reacción se completa y el reactivo se consume totalmente.

En $x = 2$: numerador = $2^3 - 8 = 0$, denominador = $2^2 - 4 = 0$

Forma $\frac{0}{0}$ ✓

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

$\frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$ para $x \neq 2$

$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} = \frac{2^2 + 2(2) + 4}{2 + 2} = \frac{4 + 4 + 4}{4} = 3$

$(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

$\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2)$

$= 3x^2 + 3x(0) + 0^2 = 3x^2$

Interpretación: Este límite representa la derivada de $f(x) = x^3$, que es $f'(x) = 3x^2$.