Ejercicios resueltos de composición de funciones

$g(x) = x^2 + 3$

$(f \circ g)(x) = f(x^2 + 3) = 2(x^2 + 3) - 1 = 2x^2 + 6 - 1 = 2x^2 + 5$

$f(x) = 2x - 1$

$(g \circ f)(x) = g(2x - 1) = (2x - 1)^2 + 3$

$= 4x^2 - 4x + 1 + 3 = 4x^2 - 4x + 4$

$(f \circ g)(2) = 2(2)^2 + 5 = 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13$

Verificación: $g(2) = 2^2 + 3 = 7$, luego $f(7) = 2(7) - 1 = 13$ ✓

Resultado: $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 5$, $(g \circ f)(x) = 4x^2 - 4x + 4$, $(f \circ g)(2) = 13$

$T(t) = 300 + 100e^{-0.1t}$ (temperatura vs tiempo)

$E(T) = \frac{0.8T}{T + 200}$ (eficiencia vs temperatura)

$(E \circ T)(t) = E(300 + 100e^{-0.1t})$

$= \frac{0.8(300 + 100e^{-0.1t})}{(300 + 100e^{-0.1t}) + 200}$

$= \frac{0.8(300 + 100e^{-0.1t})}{500 + 100e^{-0.1t}}$

$= \frac{240 + 80e^{-0.1t}}{500 + 100e^{-0.1t}}$

Cuando $t \to \infty$: $e^{-0.1t} \to 0$

$(E \circ T)(\infty) = \frac{240 + 0}{500 + 0} = \frac{240}{500} = 0.48 = 48\%$

Interpretación: La eficiencia del proceso tiende a 48% conforme el reactor se enfría hacia su temperatura asintótica de 300°C.

$(h \circ k)(x) = h(k(x)) = h(x^2 - 4) = \sqrt{(x^2 - 4) + 4} = \sqrt{x^2} = |x|$

Dominio de $(h \circ k)(x)$:

Para que $h(k(x))$ esté definido, necesitamos:

• $k(x)$ debe estar en el dominio de $h$
• Dominio de $h$: $x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$
• Necesitamos: $k(x) \geq -4$, es decir, $x^2 - 4 \geq -4$
• $x^2 \geq 0$ (siempre cierto)

Dominio de $(h \circ k)(x)$: $\mathbb{R}$

$(k \circ h)(x) = k(h(x)) = k(\sqrt{x + 4}) = (\sqrt{x + 4})^2 - 4 = (x + 4) - 4 = x$

Dominio de $(k \circ h)(x)$:

Para que $k(h(x))$ esté definido, necesitamos:

• $x$ debe estar en el dominio de $h$
• Dominio de $h$: $x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$

Dominio de $(k \circ h)(x)$: $[-4, +\infty)$

Resultado:

• $(h \circ k)(x) = |x|$ con dominio $\mathbb{R}$
• $(k \circ h)(x) = x$ con dominio $[-4, +\infty)$

• $f$ es continua en todo su dominio
• $g$ es continua en todo su dominio
• Queremos probar que $h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))$ es continua

Para que $h(a)$ esté definida:

• $a$ debe estar en el dominio de $g$
• $g(a)$ debe estar en el dominio de $f$

Queremos probar: $\lim_{x \to a} h(x) = h(a)$

Es decir: $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(g(a))$

Como $g$ es continua en $a$: $\lim_{x \to a} g(x) = g(a)$

Como $f$ es continua en $g(a)$ y $\lim_{x \to a} g(x) = g(a)$:

$\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(\lim_{x \to a} g(x)) = f(g(a))$

$\lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} f(g(x)) = f(g(a)) = h(a)$

Por tanto, $h(x) = (f \circ g)(x)$ es continua en $x = a$.

Teorema: La composición de funciones continuas es continua.