Ejercicios resueltos de diferencias finitas

$h = 0.1$

$(x_0, f_0) = (0.1, 0.1003)$

$(x_1, f_1) = (0.2, 0.2013)$

$(x_2, f_2) = (0.3, 0.3045)$

$(x_3, f_3) = (0.4, 0.4108)$

Diferencia hacia adelante:

$f'(0.2) \approx \frac{f(0.3) - f(0.2)}{h} = \frac{0.3045 - 0.2013}{0.1} = \frac{0.1032}{0.1} = 1.032$

Diferencia hacia atrás:

$f'(0.2) \approx \frac{f(0.2) - f(0.1)}{h} = \frac{0.2013 - 0.1003}{0.1} = \frac{0.101}{0.1} = 1.010$

Diferencia centrada:

$f'(0.2) \approx \frac{f(0.3) - f(0.1)}{2h} = \frac{0.3045 - 0.1003}{0.2} = \frac{0.2042}{0.2} = 1.021$

Diferencia hacia adelante:

$f'(0.3) \approx \frac{f(0.4) - f(0.3)}{h} = \frac{0.4108 - 0.3045}{0.1} = \frac{0.1063}{0.1} = 1.063$

Diferencia hacia atrás:

$f'(0.3) \approx \frac{f(0.3) - f(0.2)}{h} = \frac{0.3045 - 0.2013}{0.1} = \frac{0.1032}{0.1} = 1.032$

Diferencia centrada:

$f'(0.3) \approx \frac{f(0.4) - f(0.2)}{2h} = \frac{0.4108 - 0.2013}{0.2} = \frac{0.2095}{0.2} = 1.0475$

Los valores se ajustan muy bien a $f(x) \approx x + \frac{x^3}{6}$ (que da $0.1002, 0.2013, 0.3045, 0.4107$).

Para $f(x) = x + \frac{x^3}{6}$:

$f'(x) = 1 + \frac{x^2}{2}$

$f'(0.2) = 1 + \frac{0.04}{2} = 1.020$

$f'(0.3) = 1 + \frac{0.09}{2} = 1.045$

Para $f'(0.2) = 1.020$:

• Adelante: error = $|1.032 - 1.020| = 0.012$ (1.2%)
• Atrás: error = $|1.010 - 1.020| = 0.010$ (1.0%)
• Centrada: error = $|1.021 - 1.020| = 0.001$ (0.1%)

Para $f'(0.3) = 1.045$:

• Adelante: error = $|1.063 - 1.045| = 0.018$ (1.7%)
• Atrás: error = $|1.032 - 1.045| = 0.013$ (1.2%)
• Centrada: error = $|1.0475 - 1.045| = 0.0025$ (0.24%)

Resultado: Las diferencias centradas dan el menor error en ambos puntos (aproximadamente 10 veces menor que las laterales), tal como predice la teoría: son de orden $O(h^2)$, frente a $O(h)$ de las progresivas y regresivas.

Para puntos $x_{-2}, x_{-1}, x_0, x_1, x_2$ con espaciado $h$:

$f(x_0 + ih) = f(x_0) + ihf'(x_0) + \frac{(ih)^2}{2!}f''(x_0) + \frac{(ih)^3}{3!}f'''(x_0) + \frac{(ih)^4}{4!}f^{(4)}(x_0) + O(h^5)$

$f_{-2} = f_0 - 2hf'_0 + 2h^2f''_0 - \frac{4h^3}{3}f'''_0 + \frac{2h^4}{3}f^{(4)}_0 + O(h^5)$

$f_{-1} = f_0 - hf'_0 + \frac{h^2}{2}f''_0 - \frac{h^3}{6}f'''_0 + \frac{h^4}{24}f^{(4)}_0 + O(h^5)$

$f_0 = f_0$

$f_1 = f_0 + hf'_0 + \frac{h^2}{2}f''_0 + \frac{h^3}{6}f'''_0 + \frac{h^4}{24}f^{(4)}_0 + O(h^5)$

$f_2 = f_0 + 2hf'_0 + 2h^2f''_0 + \frac{4h^3}{3}f'''_0 + \frac{2h^4}{3}f^{(4)}_0 + O(h^5)$

Buscamos coeficientes $a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2$ tales que:

$a_{-2}f_{-2} + a_{-1}f_{-1} + a_0f_0 + a_1f_1 + a_2f_2 = h^2f''_0 + O(h^6)$

Condiciones:

• Coeficiente de $f_0$: $a_{-2} + a_{-1} + a_0 + a_1 + a_2 = 0$
• Coeficiente de $f'_0$: $-2a_{-2} - a_{-1} + a_1 + 2a_2 = 0$
• Coeficiente de $f''_0$: $2a_{-2} + \frac{a_{-1}}{2} + \frac{a_1}{2} + 2a_2 = 1$
• Coeficiente de $f'''_0$: $-\frac{4a_{-2}}{3} - \frac{a_{-1}}{6} + \frac{a_1}{6} + \frac{4a_2}{3} = 0$
• Coeficiente de $f^{(4)}_0$: $\frac{2a_{-2}}{3} + \frac{a_{-1}}{24} + \frac{a_1}{24} + \frac{2a_2}{3} = 0$

Por simetría: $a_{-2} = a_2$ y $a_{-1} = a_1$

Con la simetría, las condiciones de $f'_0$ y $f'''_0$ se cumplen automáticamente. Quedan:

$2a_2 + 2a_1 + a_0 = 0$ (coeficiente de $f_0$)

$4a_2 + a_1 = 1$ (coeficiente de $f''_0$)

$\frac{4}{3}a_2 + \frac{1}{12}a_1 = 0 \Rightarrow a_1 = -16a_2$ (coeficiente de $f^{(4)}_0$)

Sustituyendo: $4a_2 - 16a_2 = 1 \Rightarrow a_2 = -\frac{1}{12}$, $a_1 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$, $a_0 = -2a_2 - 2a_1 = \frac{1}{6} - \frac{8}{3} = -\frac{5}{2}$

$f''(x_0) \approx \frac{1}{h^2}\left[-\frac{1}{12}f_{-2} + \frac{4}{3}f_{-1} - \frac{5}{2}f_0 + \frac{4}{3}f_1 - \frac{1}{12}f_2\right]$

$= \frac{1}{12h^2}[-f_{-2} + 16f_{-1} - 30f_0 + 16f_1 - f_2]$

Tomamos $x_0 = 0.2$ como punto central, con $h = 0.1$: $f_{-2} = f(0) = 1$, $f_{-1} = f(0.1) = 1.01$, $f_0 = f(0.2) = 1.04$, $f_1 = f(0.3) = 1.09$, $f_2 = f(0.4) = 1.16$

$f''(0.2) \approx \frac{1}{12(0.1)^2}[-1 + 16(1.01) - 30(1.04) + 16(1.09) - 1.16]$

$= \frac{1}{0.12}[-1 + 16.16 - 31.2 + 17.44 - 1.16] = \frac{0.24}{0.12} = 2$

Los datos sugieren $f(x) = 1 + x^2$, donde $f''(x) = 2$.

Nuestra aproximación da exactamente 2, confirmando la precisión del método.

Resultado: La fórmula de diferencias finitas de 5 puntos proporciona aproximaciones de orden $O(h^4)$ para la segunda derivada.

Intervalo $[0, \pi]$ con $n = 4$ subdivisiones

$h = \frac{\pi - 0}{4} = \frac{\pi}{4}$

Nodos: $x_0 = 0$, $x_1 = \frac{\pi}{4}$, $x_2 = \frac{\pi}{2}$, $x_3 = \frac{3\pi}{4}$, $x_4 = \pi$

$y''(x_i) \approx \frac{y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}}{h^2}$

En cada nodo interior $x_i$ (i = 1, 2, 3):

$\frac{y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}}{h^2} + y_i = 0$

Multiplicando por $h^2$:

$y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1} + h^2 y_i = 0$

$y_{i+1} + (h^2 - 2)y_i + y_{i-1} = 0$

$y_0 = 0$ y $y_4 = 0$ (dados)

$h^2 = \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 = \frac{\pi^2}{16} \approx 0.617$

Para $i = 1$: $y_2 + (0.617 - 2)y_1 + y_0 = 0$

$y_2 - 1.383y_1 + 0 = 0$ → $y_2 = 1.383y_1$

Para $i = 2$: $y_3 + (0.617 - 2)y_2 + y_1 = 0$

$y_3 - 1.383y_2 + y_1 = 0$ → $y_3 = 1.383y_2 - y_1$

Para $i = 3$: $y_4 + (0.617 - 2)y_3 + y_2 = 0$

$0 - 1.383y_3 + y_2 = 0$ → $y_2 = 1.383y_3$

De la primera ecuación: $y_2 = 1.383y_1$

De la tercera ecuación: $y_2 = 1.383y_3$

Por tanto: $1.383y_1 = 1.383y_3$ → $y_1 = y_3$

Sustituyendo en la segunda ecuación:

$y_3 = 1.383(1.383y_1) - y_1 = 1.913y_1 - y_1 = 0.913y_1$

Como $y_1 = y_3$: $y_1 = 0.913y_1$

Esto implica $(1 - 0.913)y_1 = 0$ → $0.087y_1 = 0$

Por tanto: $y_1 = 0$, lo que implica $y_2 = y_3 = 0$

La solución numérica es $y = 0$ en todos los nodos: el sistema discreto solo admite la solución trivial, porque su determinante vale $\approx 0.12 \neq 0$.

La ecuación $y'' + y = 0$ tiene solución general $y = A\cos(x) + B\sin(x)$

Aplicando condiciones de frontera:

$y(0) = A = 0$

$y(\pi) = B\sin(\pi) = 0$

Como $\sin(\pi) = 0$, cualquier valor de $B$ satisface la condición: el problema exacto tiene infinitas soluciones $y = B\sin(x)$, y no solo la trivial.

El problema $y'' + \lambda y = 0$, $y(0) = y(\pi) = 0$ tiene soluciones no triviales solo para los valores propios $\lambda_k = k^2$ ($k = 1, 2, 3, \ldots$). Nuestro caso, $\lambda = 1$, es precisamente el primero, y por eso existen las soluciones $B\sin(x)$.

El problema discretizado tiene como primer valor propio $\frac{2 - 2\cos(h)}{h^2} = \frac{2 - 2\cos(\pi/4)}{\pi^2/16} \approx 0.950 \neq 1$. Por eso el sistema discreto solo admite $y = 0$.

Resultado: El método de diferencias finitas da solo la solución trivial y pierde la familia de soluciones $y = B\sin(x)$. Es un problema de valores propios, que exige un tratamiento específico; al refinar la malla, el primer valor propio discreto se acerca a 1.

Función: $f(x) = \sin(x)$

Derivada exacta: $f'(x) = \cos(x)$

Punto de evaluación: $x_0 = \frac{\pi}{6}$

Valor exacto: $f'(\pi/6) = \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866025$

Diferencia progresiva: $f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Diferencia regresiva: $f'(x_0) \approx \frac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h}$

Diferencia centrada: $f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h}$

$x_0 = \pi/6 \approx 0.5236$

$f(x_0) = \sin(0.5236) = 0.5$

$f(x_0 + 0.1) = \sin(0.6236) = 0.583960$

$f(x_0 - 0.1) = \sin(0.4236) = 0.411044$

Progresiva: $\frac{0.583960 - 0.5}{0.1} = 0.8396$

Regresiva: $\frac{0.5 - 0.411044}{0.1} = 0.8896$

Centrada: $\frac{0.583960 - 0.411044}{0.2} = 0.8646$

$f(x_0 + 0.05) = \sin(0.5736) = 0.542658$

$f(x_0 - 0.05) = \sin(0.4736) = 0.456092$

Progresiva: $\frac{0.542658 - 0.5}{0.05} = 0.8532$

Regresiva: $\frac{0.5 - 0.456092}{0.05} = 0.8782$

Centrada: $\frac{0.542658 - 0.456092}{0.1} = 0.8657$

$f(x_0 + 0.01) = \sin(0.5336) = 0.508635$

$f(x_0 - 0.01) = \sin(0.5136) = 0.491315$

Progresiva: $\frac{0.508635 - 0.5}{0.01} = 0.8635$

Regresiva: $\frac{0.5 - 0.491315}{0.01} = 0.8685$

Centrada: $\frac{0.508635 - 0.491315}{0.02} = 0.8660$

(Atención: si los senos se redondean a 4 decimales, con $h = 0.01$ los tres métodos dan $0.86$; ese es el error de redondeo, que domina cuando $h$ es pequeño.)

Error teórico:

• Progresiva y regresiva: $O(h)$
• Centrada: $O(h^2)$

Verificación numérica:

Para $h = 0.1 \to 0.05$ (reducción $2 \times$):

• Progresiva: el error pasa de 3.05% a 1.48% (se divide por $\approx 2$), como corresponde a $O(h)$
• Centrada: el error pasa de 0.17% a 0.04% (se divide por $\approx 4$), como corresponde a $O(h^2)$

Para $h = 0.05 \to 0.01$ (reducción $5 \times$):

• Progresiva y regresiva: el error se divide por $\approx 5$; centrada: por $\approx 25$

Análisis del error de truncamiento vs. redondeo

Para valores pequeños de $h$, el error de redondeo comienza a dominar. El valor óptimo de $h$ equilibra error de truncamiento y error de redondeo.

Para derivadas numéricas:

• Usar diferencias centradas cuando sea posible (mejor orden)
• Elegir $h \approx \sqrt{\varepsilon}$ para diferencias progresivas o regresivas, y $h \approx \varepsilon^{1/3}$ para diferencias centradas, donde $\varepsilon$ es la precisión de máquina
• Para precisión simple ($\varepsilon \approx 10^{-7}$): $h \approx 3 \times 10^{-4}$ (progresiva) y $h \approx 5 \times 10^{-3}$ (centrada)
• Para precisión doble ($\varepsilon \approx 10^{-16}$): $h \approx 10^{-8}$ (progresiva) y $h \approx 10^{-5}$ (centrada)

Resultado: Las diferencias centradas son superiores para $h$ moderadamente pequeño, pero todos los métodos convergen para $h$ suficientemente pequeño antes de que domine el error de redondeo.