Ejercicios resueltos de método de Euler

Ecuación: $y' = f(x,y) = x + y$

Condición inicial: $y_0 = 1$ en $x_0 = 0$

Fórmula: $y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$

Paso: $h = 0.1$

$f(0, 1) = 0 + 1 = 1$

$y_1 = y_0 + h \cdot f(x_0, y_0) = 1 + 0.1(1) = 1.1$

$f(0.1, 1.1) = 0.1 + 1.1 = 1.2$

$y_2 = y_1 + h \cdot f(x_1, y_1) = 1.1 + 0.1(1.2) = 1.22$

$f(0.2, 1.22) = 0.2 + 1.22 = 1.42$

$y_3 = y_2 + h \cdot f(x_2, y_2) = 1.22 + 0.1(1.42) = 1.362$

$f(0.3, 1.362) = 0.3 + 1.362 = 1.662$

$y_4 = y_3 + h \cdot f(x_3, y_3) = 1.362 + 0.1(1.662) = 1.5282$

La ecuación $y' - y = x$ es lineal de primer orden.

Factor integrante: $\mu(x) = e^{-\int 1 dx} = e^{-x}$

Multiplicando: $e^{-x}y' - e^{-x}y = xe^{-x}$

$(e^{-x}y)' = xe^{-x}$

Integrando: $e^{-x}y = \int xe^{-x} dx = -(x+1)e^{-x} + C$

$y = -(x+1) + Ce^x$

Con $y(0) = 1$: $1 = -1 + C$, así $C = 2$

Solución exacta: $y(x) = 2e^x - x - 1$

En $x = 0.4$: $y(0.4) = 2e^{0.4} - 0.4 - 1 = 2(1.4918) - 1.4 = 1.5836$

Resultado:

• Euler: $y(0.4) \approx 1.5282$
• Exacto: $y(0.4) = 1.5836$
• Error: $3.5\%$

$y' = -2y$ es separable: $\frac{dy}{y} = -2dx$

$\ln|y| = -2x + C$

$y = Ae^{-2x}$

Con $y(0) = 3$: $A = 3$

Solución exacta: $y(x) = 3e^{-2x}$

$f(x,y) = -2y$, $y_0 = 3$

$y_1 = 3 + 0.2(-2 \cdot 3) = 3 - 1.2 = 1.8$ en $x = 0.2$

$y_2 = 1.8 + 0.2(-2 \cdot 1.8) = 1.8 - 0.72 = 1.08$ en $x = 0.4$

$y_3 = 1.08 + 0.2(-2 \cdot 1.08) = 1.08 - 0.432 = 0.648$ en $x = 0.6$

$y_4 = 0.648 + 0.2(-2 \cdot 0.648) = 0.648 - 0.2592 = 0.3888$ en $x = 0.8$

$y_5 = 0.3888 + 0.2(-2 \cdot 0.3888) = 0.3888 - 0.15552 = 0.23328$ en $x = 1.0$

Necesitamos 10 pasos para llegar a $x = 1$:

$y_1 = 3 + 0.1(-6) = 2.4$ en $x = 0.1$

$y_2 = 2.4 + 0.1(-4.8) = 1.92$ en $x = 0.2$

$y_3 = 1.92 + 0.1(-3.84) = 1.536$ en $x = 0.3$

$y_4 = 1.536 + 0.1(-3.072) = 1.2288$ en $x = 0.4$

$y_5 = 1.2288 + 0.1(-2.4576) = 0.98304$ en $x = 0.5$

$y_6 = 0.98304 + 0.1(-1.96608) = 0.786432$ en $x = 0.6$

$y_7 = 0.786432 + 0.1(-1.572864) = 0.6291456$ en $x = 0.7$

$y_8 = 0.6291456 + 0.1(-1.2582912) = 0.50331648$ en $x = 0.8$

$y_9 = 0.50331648 + 0.1(-1.00663296) = 0.402653184$ en $x = 0.9$

$y_{10} = 0.402653184 + 0.1(-0.805306368) = 0.3213225472$ en $x = 1.0$

$y(0.2) = 3e^{-0.4} = 3(0.6703) = 2.011$

$y(0.4) = 3e^{-0.8} = 3(0.4493) = 1.348$

$y(0.6) = 3e^{-1.2} = 3(0.3012) = 0.904$

$y(0.8) = 3e^{-1.6} = 3(0.2019) = 0.606$

$y(1.0) = 3e^{-2} = 3(0.1353) = 0.406$

En $x = 1.0$:

• Exacto: $y(1) = 0.406$
• Euler $h=0.2$: $y_5 = 0.233$ (error = 42.6%)
• Euler $h=0.1$: $y_{10} = 0.321$ (error = 20.9%)

En $x = 0.4$:

• Exacto: $y(0.4) = 1.348$
• Euler $h=0.2$: $y_2 = 1.08$ (error = 19.9%)
• Euler $h=0.1$: $y_4 = 1.229$ (error = 8.8%)

El error se reduce aproximadamente a la mitad al reducir $h$ a la mitad, confirmando convergencia de orden 1 del método de Euler.

Resultado: El método de Euler subestima la solución para ecuaciones con términos negativos. Reducir $h$ mejora significativamente la precisión.

$f(x,y) = y^2 - x^2$, $y_0 = 0.5$, $x_0 = 0$

Esta ecuación puede tener comportamiento singular (blow-up) dependiendo de las condiciones.

$y_{n+1} = y_n + h(y_n^2 - x_n^2)$

$y_1 = 0.5 + 0.1((0.5)^2 - 0^2) = 0.5 + 0.1(0.25) = 0.525$

$y_2 = 0.525 + 0.1((0.525)^2 - (0.1)^2) = 0.525 + 0.1(0.2756 - 0.01) = 0.551563$

$y_3 = 0.551563 + 0.1((0.551563)^2 - (0.2)^2) = 0.551563 + 0.1(0.3042 - 0.04) = 0.577985$

$y_4 = 0.577985 + 0.1((0.577985)^2 - (0.3)^2) = 0.577985 + 0.1(0.3341 - 0.09) = 0.602391$

$y_5 = 0.602391 + 0.1(0.3629 - 0.16) = 0.622679$

$y_6 = 0.622679 + 0.1(0.3877 - 0.25) = 0.636452$

$y_7 = 0.636452 + 0.1(0.4051 - 0.36) = 0.640959$

$y_8 = 0.640959 + 0.1(0.4108 - 0.49) = 0.633042$

La solución parece estabilizarse inicialmente, luego decrece ligeramente. Esto sugiere que no hay blow-up inmediato para esta condición inicial.

$y_1 = 0.5 + 0.05(0.25) = 0.5125$

$y_2 = 0.5125 + 0.05((0.5125)^2 - (0.05)^2) = 0.5125 + 0.05(0.2627 - 0.0025) = 0.525508$

$y_3 = 0.525508 + 0.05(0.2762 - 0.01) = 0.538816$

$y_4 = 0.538816 + 0.05(0.2903 - 0.0225) = 0.552207$

En $x = 0.2$:

• $h = 0.1$: $y_2 = 0.551563$
• $h = 0.05$: $y_4 = 0.552207$
• Solución de referencia (calculada con un método de alta precisión): $y(0.2) \approx 0.552738$

La diferencia es pequeña, indicando estabilidad numérica.

La ecuación $y' = y^2 - x^2$ es de tipo Riccati. Sus posibles singularidades son explosiones (blow-up): la solución $y(x)$ tiende a $\infty$ en un valor finito de $x$, porque cuando $y$ es grande el término $y^2$ domina y hace crecer $y'$ cada vez más deprisa.

Son singularidades móviles: su posición depende de la condición inicial. Por ejemplo, con $y(0) = 2$ la solución explota cerca de $x \approx 0.50$.

Si $y(0) = 2$, entonces:

$y_1 = 2 + 0.1(4 - 0) = 2.4$

$y_2 = 2.4 + 0.1(5.76 - 0.01) = 2.975$

$y_3 = 2.975 + 0.1(8.851 - 0.04) = 3.856$

Aquí vemos crecimiento explosivo, indicando proximidad a una singularidad.

Resultado: La estabilidad del método de Euler depende críticamente de la condición inicial y la proximidad a singularidades de la ecuación diferencial.

Predicción: $\tilde{y}_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)$

Corrección: $y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}[f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, \tilde{y}_{n+1})]$

$f(x,y) = -y + \sin(x)$, $y_0 = 0$, $x_0 = 0$

Objetivo: calcular $y(\pi/2) \approx y(1.5708)$

Usar $h = 0.2$ (7 pasos hasta $x = 1.4$ y un último paso de $h = \pi/2 - 1.4 \approx 0.1708$ hasta $\pi/2$)

Predicción: $\tilde{y}_1 = 0 + 0.2(-0 + \sin(0)) = 0 + 0.2(0) = 0$

Corrección: $y_1 = 0 + \frac{0.2}{2}[(-0 + 0) + (-0 + \sin(0.2))]$

$= 0.1[0 + 0.1987] = 0.01987$

Predicción: $\tilde{y}_2 = 0.01987 + 0.2(-0.01987 + \sin(0.2))$

$= 0.01987 + 0.2(-0.01987 + 0.1987) = 0.01987 + 0.2(0.179) = 0.0557$

Corrección: $y_2 = 0.01987 + 0.1[(-0.01987 + 0.1987) + (-0.0557 + \sin(0.4))]$

$= 0.01987 + 0.1[0.179 + (-0.0557 + 0.3894)]$

$= 0.01987 + 0.1[0.179 + 0.3337] = 0.0711$

$y_1^{Euler} = 0 + 0.2(0) = 0$

$y_2^{Euler} = 0 + 0.2(-0 + \sin(0.2)) = 0.2(0.1987) = 0.03974$

$y_3^{Euler} = 0.03974 + 0.2(-0.03974 + \sin(0.4)) = 0.03974 + 0.2(0.3497) = 0.109684$

Por brevedad, mostramos solo algunos valores clave:

En $x = 0.8$:

• Heun: $y_4 \approx 0.2366$
• Euler: $y_4 \approx 0.2007$
• Exacto: $y(0.8) \approx 0.2350$

En $x = 1.2$:

• Heun: $y_6 \approx 0.4357$
• Euler: $y_6 \approx 0.4115$
• Exacto: $y(1.2) \approx 0.4354$

En $x = \pi/2 \approx 1.57$:

• Heun: $y_8 \approx 0.6027$
• Euler: $y_8 \approx 0.5959$

La ecuación $y' + y = \sin(x)$ es lineal de primer orden.

Factor integrante: $\mu(x) = e^x$

$(e^x y)' = e^x \sin(x)$

$e^x y = \int e^x \sin(x) dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$

$y = \frac{\sin x - \cos x}{2} + Ce^{-x}$

Con $y(0) = 0$: $0 = \frac{0-1}{2} + C$, así $C = \frac{1}{2}$

Solución exacta: $y(x) = \frac{\sin x - \cos x + e^{-x}}{2}$

En $x = \pi/2$: $y(\pi/2) = \frac{1 - 0 + e^{-\pi/2}}{2} = \frac{1 + 0.2079}{2} = 0.604$

En $x = \pi/2$:

• Exacto: $y = 0.604$
• Heun: $y = 0.6027$ (error = 0.21%)
• Euler: $y = 0.5959$ (error = 1.34%)

Resultado: El método de Heun es significativamente más preciso que Euler simple para el mismo tamaño de paso: en $x = \pi/2$ su error es unas 6 veces menor, y en $x = 0.8$ unas 20 veces menor (0.7% frente a 14.6%).