Ejercicios resueltos de método de la bisección

$f(1) = 1^3 + 1 - 3 = -1 < 0$

$f(2) = 2^3 + 2 - 3 = 7 > 0$

Como $f(1) \cdot f(2) < 0$, existe al menos una raíz en $[1, 2]$.

$c_1 = \frac{1 + 2}{2} = 1.5$

$f(1.5) = (1.5)^3 + 1.5 - 3 = 3.375 + 1.5 - 3 = 1.875 > 0$

Como $f(1) < 0$ y $f(1.5) > 0$, la raíz está en $[1, 1.5]$.

$c_2 = \frac{1 + 1.5}{2} = 1.25$

$f(1.25) = (1.25)^3 + 1.25 - 3 = 1.953 + 1.25 - 3 = 0.203 > 0$

La raíz está en $[1, 1.25]$.

$c_3 = \frac{1 + 1.25}{2} = 1.125$

$f(1.125) = (1.125)^3 + 1.125 - 3 = 1.424 + 1.125 - 3 = -0.451 < 0$

La raíz está en $[1.125, 1.25]$.

$|1.25 - 1.125| = 0.125 > 0.05$, continuamos.

$c_4 = 1.1875$, $f(1.1875) = -0.138 < 0$, intervalo $[1.1875, 1.25]$

$|1.25 - 1.1875| = 0.0625 > 0.05$, continuamos.

$c_5 = 1.21875$, $f(1.21875) = 0.029 > 0$, intervalo $[1.1875, 1.21875]$

$|1.21875 - 1.1875| = 0.03125 < 0.05$ $\checkmark$; tomamos el punto medio $c_6 = 1.203125$

Resultado: $x \approx 1.203$ con error $< 0.05$ (la raíz es $x = 1.2134$)

$f(0) = \cos(0) - 0 = 1 > 0$

$f(1) = \cos(1) - 1 \approx 0.540 - 1 = -0.460 < 0$

Existe raíz en $[0, 1]$.

Después de $n$ iteraciones: $|x_n - r| \leq \frac{b - a}{2^n}$

Donde $[a, b] = [0, 1]$, así $b - a = 1$.

Necesitamos: $\frac{1}{2^n} \leq 10^{-4}$

$2^n \geq 10^4$

$n \log(2) \geq \log(10^4) = 4\log(10)$

$n \geq \frac{4\log(10)}{\log(2)} = \frac{4 \times 2.303}{0.693} = 13.29$

$n = 14$ iteraciones

Después de 14 iteraciones: error $\leq \frac{1}{2^{14}} = \frac{1}{16384} \approx 6.1 \times 10^{-5} < 10^{-4}$ $\checkmark$

Resultado: Se necesitan 14 iteraciones para garantizar precisión $10^{-4}$.

Intersección: $2^x = 3x$

Función: $f(x) = 2^x - 3x = 0$

$f(1) = 2^1 - 3(1) = 2 - 3 = -1 < 0$

$f(2) = 2^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2 < 0$

$f(3) = 2^3 - 3(3) = 8 - 9 = -1 < 0$

$f(4) = 2^4 - 3(4) = 16 - 12 = 4 > 0$

Raíz en $[3, 4]$.

Iteración 1: $c_1 = 3.5$, $f(3.5) = 2^{3.5} - 3(3.5) = 11.314 - 10.5 = 0.814 > 0$

Nuevo intervalo: $[3, 3.5]$

Iteración 2: $c_2 = 3.25$, $f(3.25) = 2^{3.25} - 3(3.25) = 9.514 - 9.75 = -0.236 < 0$

Nuevo intervalo: $[3.25, 3.5]$

Iteración 3: $c_3 = 3.375$, $f(3.375) = 2^{3.375} - 3(3.375) = 10.375 - 10.125 = 0.25 > 0$

Nuevo intervalo: $[3.25, 3.375]$

Iteración 4: $c_4 = 3.3125$, $|3.375 - 3.25| = 0.125 > 0.01$

Después de 7 iteraciones: $x \approx 3.31$

$2^{3.313} \approx 9.94$

$3(3.313) = 9.94$ $\checkmark$

Resultado: Las curvas se intersectan en $(3.313, 9.94)$. Hay además una segunda intersección en $[0, 1]$, ya que $f(0) = 1 > 0$ y $f(1) = -1 < 0$: aplicando el mismo método se obtiene $(0.458, 1.373)$.

Para encontrar $\sqrt{a}$, resolvemos $f(x) = x^2 - a = 0$ en $[0, a]$.

Condiciones: $f(0) = -a < 0$, $f(a) = a^2 - a = a(a-1)$

Si $a > 1$: $f(a) > 0$, usar $[0, a]$

Si $0 < a < 1$: $f(1) = 1 - a > 0$, usar $[0, 1]$

Intervalo inicial: $[0, 2]$

Error después de $n$ iteraciones: $|x_n - \sqrt{2}| \leq \frac{2}{2^n}$

Para precisión $\varepsilon$: $n \geq \log_2\left(\frac{2}{\varepsilon}\right)$

$f(x) = x^2 - 2$

Iteración 1: $c_1 = 1$, $f(1) = -1 < 0$, intervalo $[1, 2]$

Iteración 2: $c_2 = 1.5$, $f(1.5) = 0.25 > 0$, intervalo $[1, 1.5]$

Iteración 3: $c_3 = 1.25$, $f(1.25) = -0.4375 < 0$, intervalo $[1.25, 1.5]$

Iteración 4: $c_4 = 1.375$, $f(1.375) = -0.109 < 0$, intervalo $[1.375, 1.5]$

Iteración 5: $c_5 = 1.4375$, $f(1.4375) = 0.066 > 0$, intervalo $[1.375, 1.4375]$

Fórmula de Herón: $x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)$

Para $\sqrt{2}$ con $x_0 = 1$:

$x_1 = \frac{1}{2}(1 + 2) = 1.5$

$x_2 = \frac{1}{2}(1.5 + \frac{2}{1.5}) = 1.4167$

$x_3 = \frac{1}{2}(1.4167 + 1.4118) = 1.4142$

Bisección (5 iteraciones): $c_5 = 1.4375$ (error $\approx 0.023$)

Herón (3 iteraciones): $x_3 = 1.414216$ (error $\approx 2 \times 10^{-6}$)

Conclusión: El método de Herón converge cuadráticamente, mucho más rápido que bisección (lineal).