Ejercicios resueltos de integración numérica

$a = 0$, $b = 2$, $n = 4$

$h = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 0}{4} = 0.5$

Nodos: $x_0 = 0$, $x_1 = 0.5$, $x_2 = 1.0$, $x_3 = 1.5$, $x_4 = 2.0$

$f(x) = e^{x^2}$

$f(x_0) = e^{0^2} = e^0 = 1$

$f(x_1) = e^{0.5^2} = e^{0.25} = 1.284$

$f(x_2) = e^{1^2} = e^1 = 2.718$

$f(x_3) = e^{1.5^2} = e^{2.25} = 9.488$

$f(x_4) = e^{2^2} = e^4 = 54.598$

$\int_0^2 e^{x^2} dx \approx \frac{h}{2}[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)]$

$= \frac{0.5}{2}[1 + 2(1.284) + 2(2.718) + 2(9.488) + 54.598]$

$= 0.25[1 + 2.568 + 5.436 + 18.976 + 54.598]$

$= 0.25[82.578] = 20.645$

Error teórico: $E = -\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)$ para algún $\xi \in [0{,}2]$

$f'(x) = 2xe^{x^2}$

$f''(x) = 2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2} = 2e^{x^2}(1 + 2x^2)$

En $[0{,}2]$, $f''(x)$ es máximo en $x = 2$: $f''(2) = 2e^4(1 + 8) = 18e^4 = 982.759$

$|E| \leq \frac{2 \times (0.5)^2}{12} \times 982.759 = 40.95$

Resultado: $\int_0^2 e^{x^2} dx \approx 20.65 \pm 41$ (estimación muy gruesa del error)

$a = 1$, $b = 3$, $n = 4$, $h = \frac{3-1}{4} = 0.5$

Nodos: $x_0 = 1$, $x_1 = 1.5$, $x_2 = 2$, $x_3 = 2.5$, $x_4 = 3$

$f(1) = 1.0000$

$f(1.5) = 0.6667$

$f(2) = 0.5000$

$f(2.5) = 0.4000$

$f(3) = 0.3333$

$T_4 = \frac{h}{2}[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)]$

$= \frac{0.5}{2}[1 + 2(0.6667) + 2(0.5) + 2(0.4) + 0.3333]$

$= 0.25[1 + 1.3334 + 1 + 0.8 + 0.3333] = 0.25[4.4667] = 1.1167$

$S_4 = \frac{h}{3}[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4)]$

$= \frac{0.5}{3}[1 + 4(0.6667) + 2(0.5) + 4(0.4) + 0.3333]$

$= \frac{0.5}{3}[1 + 2.6668 + 1 + 1.6 + 0.3333] = \frac{0.5}{3}[6.6001] = 1.1000$

Valor exacto: $\ln(3) = 1.0986$

Error trapecio: $|1.1167 - 1.0986| = 0.0181$ (1.65%)

Error Simpson: $|1.1000 - 1.0986| = 0.0014$ (0.13%)

Para $f(x) = \frac{1}{x}$:

$f''(x) = \frac{2}{x^3}$, máximo en $[1{,}3]$ es $f''(1) = 2$

Error trapecio: $|E_T| \leq \frac{(3-1)(0.5)^2}{12} \times 2 = 0.0833$

$f^{(4)}(x) = \frac{24}{x^5}$, máximo es $f^{(4)}(1) = 24$

Error Simpson: $|E_S| \leq \frac{(3-1)(0.5)^4}{180} \times 24 = 0.0167$

Ambos errores reales (0.0181 y 0.0014) están por debajo de sus cotas.

Resultado: Simpson es mucho más preciso (error 13 veces menor) para el mismo esfuerzo computacional.

Para puntos $x_0 = a$, $x_1 = \frac{a+b}{2}$, $x_2 = b$ con $h = \frac{b-a}{2}$:

Polinomio interpolador:

$P(x) = f(x_0)L_0(x) + f(x_1)L_1(x) + f(x_2)L_2(x)$

Donde:

$L_0(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}$

$L_1(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}$

$L_2(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$

Después de integrar (cambio de variable $x = a + th$):

$\int_a^b L_0(x)dx = \frac{h}{3}$

$\int_a^b L_1(x)dx = \frac{4h}{3}$

$\int_a^b L_2(x)dx = \frac{h}{3}$

$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{3}[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)]$

Esta es exactamente la regla de Simpson para $n = 2$.

$a = -1$, $b = 1$, $h = \frac{1-(-1)}{2} = 1$

$x_0 = -1$, $x_1 = 0$, $x_2 = 1$

$f(x) = \sqrt{1+x^2}$

$f(-1) = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} = 1.414$

$f(0) = \sqrt{1+0} = 1$

$f(1) = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} = 1.414$

$\int_{-1}^{1} \sqrt{1+x^2} dx \approx \frac{1}{3}[1.414 + 4(1) + 1.414]$

$= \frac{1}{3}[1.414 + 4 + 1.414] = \frac{6.828}{3} = 2.276$

La integral exacta es: $\int \sqrt{1+x^2} dx = \frac{x\sqrt{1+x^2}}{2} + \frac{1}{2}\ln|x + \sqrt{1+x^2}| + C$

En $[-1{,}1]$: $\int_{-1}^{1} \sqrt{1+x^2} dx = 2.296$

Error: $|2.296 - 2.276| = 0.020$ (0.87%)

Resultado: La fórmula derivada (Simpson) da una excelente aproximación.

Sea $f(x)$ una función par: $f(-x) = f(x)$ para todo $x$.

Queremos mostrar que:

$T_n^{[-a,a]} = 2 \cdot T_{n/2}^{[0,a]}$

Con $h = \frac{2a}{n}$ y nodos $x_i = -a + ih$:

$T_n^{[-a,a]} = \frac{h}{2}[f(-a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(a)]$

Por ser $f$ par: $f(-a) = f(a)$

Los nodos se pueden agrupar simétricamente:

• $x_0 = -a$ y $x_n = a$: contribución $\frac{h}{2}[f(-a) + f(a)] = hf(a)$
• Para $i$ y $n-i$: $x_i = -a + ih$ y $x_{n-i} = a - ih$

Como $x_{n-i} = a - ih = -(-(a-ih)) = -(-a+ih) = -x_i$:

$f(x_i) + f(x_{n-i}) = f(x_i) + f(-x_i) = 2f(x_i)$ (si $x_i > 0$)

$T_n^{[-a,a]} = \frac{h}{2}[2f(a) + 2\sum_{i=1}^{n/2-1} 2f(x_i) + 2f(0)]$

donde $x_i$ ahora representa solo los nodos positivos.

$= h[f(a) + 2\sum_{i=1}^{n/2-1} f(x_i) + f(0)]$

En $[0,a]$ con $n/2$ subdivisiones, $h' = \frac{a}{n/2} = \frac{2a}{n} = h$:

$T_{n/2}^{[0,a]} = \frac{h}{2}[f(0) + 2\sum_{i=1}^{n/2-1} f(ih) + f(a)]$

$2 \cdot T_{n/2}^{[0,a]} = 2 \cdot \frac{h}{2}[f(0) + 2\sum_{i=1}^{n/2-1} f(ih) + f(a)]$

$= h[f(0) + 2\sum_{i=1}^{n/2-1} f(ih) + f(a)] = T_n^{[-a,a]}$

Para $f(x) = x^2$ en $[-2{,}2]$ con $n = 4$:

$T_4^{[-2{,}2]}$: nodos $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$, valores $\{4, 1, 0, 1, 4\}$

$T_4^{[-2{,}2]} = \frac{1}{2}[4 + 2(1) + 2(0) + 2(1) + 4] = 8$

$T_2^{[0{,}2]}$: nodos $\{0, 1, 2\}$, valores $\{0, 1, 4\}$

$T_2^{[0{,}2]} = \frac{1}{2}[0 + 2(1) + 4] = 4$

$2 \cdot T_2^{[0{,}2]} = 8$ $\checkmark$

Conclusión: La propiedad se cumple para cualquier función par, reduciendo el cálculo a la mitad.