Ejercicios resueltos de análisis de error

$a + b = 67.42 + 23.15 = 90.57$

Error absoluto: $E_{a+b} = |E_a| + |E_b| = 0.01 + 0.02 = 0.03$

Error relativo: $e_{a+b} = \frac{0.03}{90.57} = 0.000331 = 0.0331\%$

$a - b = 67.42 - 23.15 = 44.27$

Error absoluto: $E_{a-b} = |E_a| + |E_b| = 0.01 + 0.02 = 0.03$

Error relativo: $e_{a-b} = \frac{0.03}{44.27} = 0.000678 = 0.0678\%$

Resultado: $a + b = 90.57 \pm 0.03$ (error relativo: 0.033%)

Resultado: $a - b = 44.27 \pm 0.03$ (error relativo: 0.068%)

La resta tiene mayor error relativo debido a la menor magnitud del resultado.

$e^{0.001} \approx 1.001$ (redondeado a 4 cifras)

$f(0.001) = \frac{1.001 - 1}{0.001} = \frac{0.001}{0.001} = 1.000$

$f(x) = \frac{e^x - 1}{x} = \frac{1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots - 1}{x}$

$= 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^3}{4!} + \cdots$

Para $x = 0.001$:

$f(0.001) = 1 + \frac{0.001}{2} + \frac{(0.001)^2}{6} + \cdots$

$= 1 + 0.0005 + 0.000000167 + \cdots \approx 1.0005$

Error en evaluación directa: $\frac{|1.0005 - 1.000|}{1.0005} = 0.05\%$

El método directo sufre pérdida de precisión por resta de números cercanos.

Para $|x| < 0.1$, usar la serie de Taylor es más preciso que la evaluación directa.

$V = \frac{4}{3}\pi (2.5)^3 = \frac{4}{3}\pi (15.625) = 65.45$ cm³

$\frac{dV}{dr} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 = 4\pi r^2$

En $r = 2.5$: $\frac{dV}{dr} = 4\pi (2.5)^2 = 25\pi = 78.54$

$|E_V| = \left|\frac{dV}{dr}\right| \cdot |E_r| = 78.54 \times 0.05 = 3.927$ cm³

$e_V = \frac{|E_V|}{V} = \frac{3.927}{65.45} = 0.06 = 6\%$

También: $e_V = 3 \cdot e_r = 3 \times \frac{0.05}{2.5} = 3 \times 0.02 = 6\%$

$V = 65.45 \pm 3.93$ cm³ (error relativo: 6%)

El error se amplifica por un factor de 3 debido al exponente cúbico.

Para $x$ grande, $\sqrt{x^2 + 1} \approx x$, por lo que $g(x) \approx x - x = 0$

Esto causa pérdida de precisión por resta de números cercanos.

$g(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$

$= \frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$

Forma original: $g(1000) = \sqrt{1000001} - 1000 \approx 1000.0005 - 1000$

Con aritmética de 6 dígitos: $g(1000) \approx 1000.00 - 1000 = 0$

Forma racionalizada: $g(1000) = \frac{1}{\sqrt{1000001} + 1000} \approx \frac{1}{2000} = 0.0005$

Sea $\varepsilon$ la precisión de máquina. Para la forma original:

Error relativo $\approx \frac{\varepsilon \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1} - x} \approx \frac{\varepsilon x}{1/(2x)} = 2\varepsilon x^2$

Para la forma racionalizada:

Error relativo $\approx \varepsilon$ (independiente de $x$)

La forma racionalizada $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$ es numéricamente estable para todo $x > 0$.