Ejercicios resueltos de ecuación de Laplace

$\Delta x = 0.5$, $\Delta y = 0.5$

Puntos interiores: $(0.5{,}0.5)$, $(1.0{,}0.5)$, $(1.5{,}0.5)$

$u_{i+1,j} + u_{i-1,j} + u_{i,j+1} + u_{i,j-1} - 4u_{i,j} = 0$

Para $(0.5, 0.5)$ → $(i,j) = (1{,}1)$:

$u_{2{,}1} + u_{0{,}1} + u_{1{,}2} + u_{1{,}0} - 4u_{1{,}1} = 0$

$u_{2{,}1} + 0 + 0 + 0 - 4u_{1{,}1} = 0$

$u_{2{,}1} - 4u_{1{,}1} = 0$

Para $(1.0, 0.5)$ → $(i,j) = (2{,}1)$:

$u_{3{,}1} + u_{1{,}1} + u_{2{,}2} + u_{2{,}0} - 4u_{2{,}1} = 0$

$u_{3{,}1} + u_{1{,}1} + 0 + 0 - 4u_{2{,}1} = 0$

$u_{3{,}1} + u_{1{,}1} - 4u_{2{,}1} = 0$

Para $(1.5, 0.5)$ → $(i,j) = (3{,}1)$:

$u_{4{,}1} + u_{2{,}1} + u_{3{,}2} + u_{3{,}0} - 4u_{3{,}1} = 0$

$100 + u_{2{,}1} + 0 + 0 - 4u_{3{,}1} = 0$

$u_{2{,}1} - 4u_{3{,}1} = -100$

$\begin{cases} u_{2{,}1} - 4u_{1{,}1} = 0 \\ u_{1{,}1} + u_{3{,}1} - 4u_{2{,}1} = 0 \\ u_{2{,}1} - 4u_{3{,}1} = -100 \end{cases}$

De la primera ecuación: $u_{2{,}1} = 4u_{1{,}1}$

De la tercera ecuación: $u_{3{,}1} = \frac{u_{2{,}1} + 100}{4} = u_{1{,}1} + 25$

Sustituyendo en la segunda ecuación:

$u_{1{,}1} + (u_{1{,}1} + 25) - 4(4u_{1{,}1}) = 0$

$2u_{1{,}1} + 25 - 16u_{1{,}1} = 0$

$-14u_{1{,}1} = -25$

$u_{1{,}1} = \frac{25}{14} \approx 1.786$

$u_{2{,}1} = 4 \times \frac{25}{14} = \frac{50}{7} \approx 7.143$

$u_{3{,}1} = \frac{25}{14} + 25 = \frac{375}{14} \approx 26.786$

$u(0.5, 0.5) = 1.786$, $u(1.0, 0.5) = 7.143$, $u(1.5, 0.5) = 26.786$

La ecuación de Laplace discretizada se puede escribir como $Au = b$ donde $A$ es la matriz de diferencias finitas.

$A = L + D + U$ donde:

• $L$: parte triangular inferior estricta
• $D$: diagonal principal
• $U$: parte triangular superior estricta

$(L + D)u^{(k+1)} = -Uu^{(k)} + b$

$u^{(k+1)} = -(L + D)^{-1}Uu^{(k)} + (L + D)^{-1}b$

Matriz de iteración: $G = -(L + D)^{-1}U$

Para el caso 1D con $N$ puntos interiores, los autovalores de $A$ son:

$\lambda_k = \frac{2}{\Delta x^2}(\cos(k\pi/(N+1)) - 1)$, $k = 1, 2, ..., N$

Para la ecuación de Laplace 1D, se puede demostrar que:

$\rho(G) = \cos^2\left(\frac{\pi}{N+1}\right)$

$\lim_{N \to \infty} \cos^2\left(\frac{\pi}{N+1}\right) = \cos^2(0) = 1$

Sin embargo, para $N$ finito: $\rho(G) < 1$

Para mallas rectangulares $N_x \times N_y$:

$\rho(G) = \left(\frac{\cos(\pi/(N_x+1)) + \cos(\pi/(N_y+1))}{2}\right)^2 < 1$

El método de Gauss-Seidel converge para la ecuación de Laplace en mallas uniformes, aunque la convergencia puede ser lenta para mallas finas (radio espectral cerca de 1).

Propongo $u(x,y) = A\sin(2\pi x)\sin(2\pi y)$

Calculando $\nabla^2 u$:

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -4\pi^2 A\sin(2\pi x)\sin(2\pi y)$

$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -4\pi^2 A\sin(2\pi x)\sin(2\pi y)$

$\nabla^2 u = -8\pi^2 A\sin(2\pi x)\sin(2\pi y)$

$-8\pi^2 A\sin(2\pi x)\sin(2\pi y) = -8\pi^2\sin(2\pi x)\sin(2\pi y)$

Por lo tanto: $A = 1$

Solución analítica: $u(x,y) = \sin(2\pi x)\sin(2\pi y)$

$\frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} + \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{(\Delta y)^2} = -f_{i,j}$

Con $\Delta x = \Delta y = h$:

$u_{i+1,j} + u_{i-1,j} + u_{i,j+1} + u_{i,j-1} - 4u_{i,j} = -h^2 f_{i,j}$

Puntos interiores: $(0.25{,}0.25)$, $(0.25{,}0.5)$, $(0.25{,}0.75)$, etc.

Para $(0.25, 0.25)$:

$f_{1{,}1} = 8\pi^2\sin(\pi/2)\sin(\pi/2) = 8\pi^2 \approx 78.96$

$u_{2{,}1} + u_{0{,}1} + u_{1{,}2} + u_{1{,}0} - 4u_{1{,}1} = -h^2 \times 78.96 = -4.935$

El sistema se puede escribir como $Au = b$ donde $b$ contiene los términos $-h^2 f_{i,j}$.

En $(0.5, 0.5)$:

• Analítica: $u(0.5, 0.5) = \sin(\pi)\sin(\pi) = 0$
• Numérica: $u(0.5, 0.5) \approx 0$ (por simetría)

En $(0.25, 0.25)$:

• Analítica: $u(0.25, 0.25) = \sin(\pi/2)\sin(\pi/2) = 1$
• Numérica: $u(0.25, 0.25) \approx 1.234$ (el laplaciano discreto de $\sin(2\pi x)\sin(2\pi y)$ vale $-64\,u$ en lugar de $-8\pi^2 u \approx -78.96\,u$, así que $u_{num} = 8\pi^2/64 \approx 1.234$)

Error máximo: $\approx 0.23$; error en norma $L^2$ discreta: $h\|u_{exacta} - u_{\text{numérica}}\|_2 \approx 0.12$

La malla es muy gruesa (solo dos intervalos por semionda). Al refinarla, el error decrece como $O(h^2)$, de acuerdo con la teoría de diferencias finitas.

Para el dominio rectangular con condiciones homogéneas:

$u_{mn}(x,y) = \sin(m\pi x)\sin(n\pi y)$, $m,n = 1{,}2{,}3,...$

$\lambda_{mn} = \pi^2(m^2 + n^2)$

$\lambda_{11} = 2\pi^2 \approx 19.739$

$\lambda_{12} = \lambda_{21} = 5\pi^2 \approx 49.348$

$\lambda_{22} = 8\pi^2 \approx 78.957$

$\lambda_{13} = \lambda_{31} = 10\pi^2 \approx 98.696$

$\frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2} + \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{h^2} + \lambda u_{i,j} = 0$

Reescribiendo: $(A + \lambda I)u = 0$ donde $A$ es la matriz de diferencias finitas de Laplace.

Los autovalores de $\nabla^2 u + \lambda u = 0$ se relacionan con los de $Au = \mu u$ mediante:

$\lambda = -\mu$

La matriz $A = T \otimes I + I \otimes T$ (con $T$ la matriz tridiagonal $9 \times 9$ de la segunda derivada) es de tamaño $81 \times 81$. Sus autovalores son exactamente $\mu_{mn} = -\frac{4}{h^2}\left[\sin^2\frac{m\pi h}{2} + \sin^2\frac{n\pi h}{2}\right]$.

Los autovalores de $A$ de menor valor absoluto son:

$\mu_1 \approx -19.58$, $\mu_2 = \mu_3 \approx -47.99$, $\mu_4 \approx -76.39$, $\mu_5 = \mu_6 \approx -92.23$

$\lambda_1 = -\mu_1 \approx 19.58$

$\lambda_2 = \lambda_3 \approx 47.99$

$\lambda_4 \approx 76.39$

$\lambda_5 = \lambda_6 \approx 92.23$

El método de diferencias finitas proporciona una buena aproximación a los autovalores, con errores que disminuyen al refinar la malla según $O(h^2)$.