Ejercicios resueltos de condiciones de Cauchy-Riemann

$f(z) = (x + iy)^4$

Desarrollando el binomio:

$(x + iy)^4 = x^4 + 4x^3(iy) + 6x^2(iy)^2 + 4x(iy)^3 + (iy)^4$

$= x^4 + 4ix^3y - 6x^2y^2 - 4ixy^3 + y^4$

$= (x^4 - 6x^2y^2 + y^4) + i(4x^3y - 4xy^3)$

Por tanto: $u(x,y) = x^4 - 6x^2y^2 + y^4$ y $v(x,y) = 4x^3y - 4xy^3$

$\frac{\partial u}{\partial x} = 4x^3 - 12xy^2$

$\frac{\partial v}{\partial y} = 4x^3 - 12xy^2$ $\checkmark$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -12x^2y + 4y^3$

$\frac{\partial v}{\partial x} = 12x^2y - 4y^3$

$-\frac{\partial v}{\partial x} = -12x^2y + 4y^3$ $\checkmark$

$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = (4x^3 - 12xy^2) + i(12x^2y - 4y^3)$

$= 4(x^3 - 3xy^2) + 4i(3x^2y - y^3) = 4[x^3 - 3xy^2 + i(3x^2y - y^3)]$

$= 4[x(x^2 - 3y^2) + iy(3x^2 - y^2)] = 4z^3$

$f(z) = e^{2(x+iy)} = e^{2x+2iy} = e^{2x}(\cos(2y) + i\sin(2y))$

Por tanto: $u(x,y) = e^{2x}\cos(2y)$ y $v(x,y) = e^{2x}\sin(2y)$

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2e^{2x}\cos(2y)$

$\frac{\partial v}{\partial y} = 2e^{2x}\cos(2y)$ $\checkmark$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -2e^{2x}\sin(2y)$

$\frac{\partial v}{\partial x} = 2e^{2x}\sin(2y)$

$-\frac{\partial v}{\partial x} = -2e^{2x}\sin(2y)$ $\checkmark$

Las condiciones se cumplen en todo $\mathbb{C}$ y las derivadas parciales son continuas, por tanto es analítica en todo $\mathbb{C}$

$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = 2e^{2x}\cos(2y) + i(2e^{2x}\sin(2y))$

$= 2e^{2x}(\cos(2y) + i\sin(2y)) = 2e^{2x}e^{2iy} = 2e^{2(x+iy)} = 2e^{2z}$

$f(z) = (x + iy)^2(x - iy) = (x^2 - y^2 + 2ixy)(x - iy)$

$= (x^2 - y^2)x - (x^2 - y^2)(iy) + 2ixy \cdot x - 2ixy \cdot (iy)$

$= x(x^2 - y^2) - i(x^2 - y^2)y + 2ix^2y + 2xy^2$

$= x^3 - xy^2 + 2xy^2 - i(x^2 - y^2)y + 2ix^2y$

$= x^3 + xy^2 + i[2x^2y - (x^2 - y^2)y]$

$= x^3 + xy^2 + i(2x^2y - x^2y + y^3) = x^3 + xy^2 + i(x^2y + y^3)$

Por tanto: $u(x,y) = x^3 + xy^2$ y $v(x,y) = x^2y + y^3$

$\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 + y^2$

$\frac{\partial v}{\partial y} = x^2 + 3y^2$

Para que se cumpla: $3x^2 + y^2 = x^2 + 3y^2 \Rightarrow 2x^2 = 2y^2 \Rightarrow x^2 = y^2$

$\frac{\partial u}{\partial y} = 2xy$

$\frac{\partial v}{\partial x} = 2xy$

$-\frac{\partial v}{\partial x} = -2xy$

Para que se cumpla: $2xy = -2xy \Rightarrow 4xy = 0 \Rightarrow x = 0$ o $y = 0$

Las condiciones se cumplen cuando $x^2 = y^2$ Y $(x = 0$ o $y = 0)$

Esto ocurre solo en el punto $(0{,}0)$. Como las derivadas parciales son continuas, la función es diferenciable únicamente en el origen. Como no existe ningún entorno del origen en el que sea diferenciable, $f$ no es analítica en ningún punto.

Si $f(z) = u + iv$, entonces $g(z) = (u + iv)(u - iv) = u^2 + v^2$

Para $g(z)$: $U(x,y) = u^2 + v^2$ y $V(x,y) = 0$

Las condiciones de Cauchy-Riemann son:

$\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial V}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{\partial V}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial U}{\partial x} = 2u\frac{\partial u}{\partial x} + 2v\frac{\partial v}{\partial x}$

Como $f$ es analítica: $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}$

$\frac{\partial U}{\partial x} = 2u\frac{\partial v}{\partial y} + 2v(-\frac{\partial u}{\partial y}) = 2(u\frac{\partial v}{\partial y} - v\frac{\partial u}{\partial y})$

Para que $\frac{\partial U}{\partial x} = 0$: $u\frac{\partial v}{\partial y} = v\frac{\partial u}{\partial y}$

Similarmente, $\frac{\partial U}{\partial y} = 2(u\frac{\partial u}{\partial y} + v\frac{\partial v}{\partial y}) = -2(u\frac{\partial v}{\partial x} - v\frac{\partial u}{\partial x}) = 0$

Esto implica $u\frac{\partial v}{\partial x} = v\frac{\partial u}{\partial x}$

Combinando ambas condiciones y usando Cauchy-Riemann:

$u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial x} = 0$ y $u\frac{\partial u}{\partial y} + v\frac{\partial v}{\partial y} = 0$

Esto significa $\nabla(u^2 + v^2) = 0$, es decir, $|f(z)|$ es constante.

Por tanto, $|f(z)|^2$ es analítica solo si $f(z)$ es constante.

Para $h(z)$: $U_1(x,y) = u(x,y)$ y $V_1(x,y) = 0$

Las condiciones requieren: $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ y $\frac{\partial u}{\partial y} = 0$

Esto implica que $u$ es constante, y por las condiciones de Cauchy-Riemann de $f$, también $v$ es constante.

Por tanto, $\text{Re}(f(z))$ es analítica solo si $f(z)$ es constante.