Ejercicios resueltos de teorema del residuo

$f(z) = \frac{z+1}{z^2-1} = \frac{z+1}{(z-1)(z+1)} = \frac{1}{z-1}$ (para $z \neq -1$)

Los polos son $z = 1$ y $z = -1$. Pero hay una cancelación en $z = -1$.

$\lim_{z \to -1} (z+1) \frac{z+1}{(z-1)(z+1)} = \lim_{z \to -1} \frac{z+1}{z-1} = \frac{0}{-2} = 0$

Por tanto, $z = -1$ es una singularidad removible.

$f(z) = \frac{1}{z-1}$ tiene un polo simple en $z = 1$.

$|1| = 1 < 2$, por tanto $z = 1$ está dentro del círculo $|z| = 2$.

Para un polo simple: $\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z-1) \frac{1}{z-1} = 1$

$\oint_C \frac{z+1}{z^2-1} dz = 2\pi i \sum \text{residuos} = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i$

$f(z) = \frac{e^z}{z^2(z-1)}$ tiene:

• Polo de orden 2 en $z = 0$
• Polo simple en $z = 1$

$|0| = 0 < 1.5$ $\checkmark$

$|1| = 1 < 1.5$ $\checkmark$

Ambas singularidades están dentro del círculo.

$\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z-1) \frac{e^z}{z^2(z-1)} = \lim_{z \to 1} \frac{e^z}{z^2} = \frac{e^1}{1^2} = e$

$\text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz}\left[z^2 \frac{e^z}{z^2(z-1)}\right] = \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz}\left[\frac{e^z}{z-1}\right]$

$= \lim_{z \to 0} \frac{e^z(z-1) - e^z \cdot 1}{(z-1)^2} = \lim_{z \to 0} \frac{e^z(z-1-1)}{(z-1)^2} = \lim_{z \to 0} \frac{e^z(z-2)}{(z-1)^2}$

$= \frac{e^0(0-2)}{(0-1)^2} = \frac{1 \cdot (-2)}{1} = -2$

$\oint_C \frac{e^z}{z^2(z-1)} dz = 2\pi i[\text{Res}(f, 0) + \text{Res}(f, 1)]$

$= 2\pi i(-2 + e) = 2\pi i(e - 2)$

$z^4 - 1 = (z^2)^2 - 1 = (z^2 - 1)(z^2 + 1) = (z-1)(z+1)(z-i)(z+i)$

$f(z) = \frac{z^3 + 2z}{(z-1)(z+1)(z-i)(z+i)}$ tiene polos simples en:

$z = 1, -1, i, -i$

Todos los polos satisfacen $|z| = 1 < 3$, por tanto están todos dentro de $C$.

Para $z = 1$:

$\text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z-1) \frac{z^3 + 2z}{(z-1)(z+1)(z-i)(z+i)}$

$= \frac{1^3 + 2 \cdot 1}{(1+1)(1-i)(1+i)} = \frac{3}{2(1-i^2)} = \frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$

Para $z = -1$:

$\text{Res}(f, -1) = \frac{(-1)^3 + 2(-1)}{(-1-1)(-1-i)(-1+i)} = \frac{-1-2}{(-2)((-1)^2-i^2)}$

$= \frac{-3}{(-2)(1+1)} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$

Para $z = i$:

$\text{Res}(f, i) = \frac{i^3 + 2i}{(i-1)(i+1)(i+i)} = \frac{-i + 2i}{(i-1)(i+1)(2i)}$

$= \frac{i}{(i^2-1)(2i)} = \frac{i}{(-1-1)(2i)} = \frac{i}{-2 \cdot 2i} = \frac{i}{-4i} = -\frac{1}{4}$

Para $z = -i$:

$\text{Res}(f, -i) = \frac{(-i)^3 + 2(-i)}{(-i-1)(-i+1)(-i-i)}$

$= \frac{i - 2i}{(-i-1)(-i+1)(-2i)} = \frac{-i}{((-i)^2-1)(-2i)}$

$= \frac{-i}{(-1-1)(-2i)} = \frac{-i}{(-2)(-2i)} = \frac{-i}{4i} = -\frac{1}{4}$

$\oint_C \frac{z^3 + 2z}{z^4 - 1} dz = 2\pi i\left(\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right)$

$= 2\pi i \cdot \frac{3 + 3 - 1 - 1}{4} = 2\pi i \cdot \frac{4}{4} = 2\pi i$

Usamos la parametrización $z = e^{i\theta}$, por tanto $\cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2}$ y $d\theta = \frac{dz}{iz}$.

La integral se convierte en:

$\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{3 + 2\cos\theta} = \oint_{|z|=1} \frac{1}{3 + 2 \cdot \frac{z + z^{-1}}{2}} \cdot \frac{dz}{iz}$

$= \oint_{|z|=1} \frac{1}{3 + z + z^{-1}} \cdot \frac{dz}{iz}$

$= \oint_{|z|=1} \frac{1}{3 + z + \frac{1}{z}} \cdot \frac{dz}{iz}$

$= \oint_{|z|=1} \frac{1}{\frac{3z + z^2 + 1}{z}} \cdot \frac{dz}{iz}$

$= \oint_{|z|=1} \frac{z}{3z + z^2 + 1} \cdot \frac{dz}{iz}$

$= \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(z^2 + 3z + 1)}$

$z^2 + 3z + 1 = 0$

Usando la fórmula cuadrática: $z = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$z_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx -0.382$

$z_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \approx -2.618$

$|z_1| = \left|\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}\right| = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.382 < 1$ $\checkmark$

$|z_2| = \left|\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}\right| = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.618 > 1$ $\xmark$

Solo $z_1$ está dentro del círculo unitario.

$\text{Res}\left(\frac{1}{i(z^2 + 3z + 1)}, z_1\right) = \frac{1}{i} \lim_{z \to z_1} \frac{z - z_1}{z^2 + 3z + 1}$

$= \frac{1}{i} \lim_{z \to z_1} \frac{1}{2z + 3} = \frac{1}{i} \cdot \frac{1}{2z_1 + 3}$

$2z_1 + 3 = 2 \cdot \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} + 3 = -3 + \sqrt{5} + 3 = \sqrt{5}$

Por tanto: $\text{Res} = \frac{1}{i\sqrt{5}} = -\frac{i}{\sqrt{5}}$

$\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{3 + 2\cos\theta} = 2\pi i \cdot \left(-\frac{i}{\sqrt{5}}\right) = 2\pi i \cdot \left(-\frac{i}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2\pi}{\sqrt{5}} = \frac{2\pi\sqrt{5}}{5}$