Ejercicios resueltos de integrales de línea

$C$: $z(t) = 1 + t[(2 + i) - 1] = 1 + t(1 + i) = 1 + t + it$, donde $0 \leq t \leq 1$

$z'(t) = 1 + i$

$z^2(t) = (1 + t + it)^2 = (1 + t)^2 + 2i(1 + t)t - t^2$

$= 1 + 2t + t^2 + 2it + 2it^2 - t^2 = 1 + 2t + i(2t + 2t^2)$

$= 1 + 2t + 2it(1 + t)$

$\int_C z^2 dz = \int_0^1 [1 + 2t + 2it(1 + t)](1 + i) dt$

$= \int_0^1 [(1 + 2t)(1 + i) + 2it(1 + t)(1 + i)] dt$

$= \int_0^1 [(1 + 2t)(1 + i) + 2it(1 + t + i + it)] dt$

$= \int_0^1 [(1 + 2t)(1 + i) + 2it + 2it^2 - 2t - 2t^2] dt$

$= \int_0^1 [(1 + 2t - 2t - 2t^2) + i(1 + 2t + 2t + 2t^2)] dt$

$= \int_0^1 [(1 - 2t^2) + i(1 + 4t + 2t^2)] dt$

$= \left[t - \frac{2t^3}{3} + i\left(t + 2t^2 + \frac{2t^3}{3}\right)\right]_0^1$

$= \frac{1}{3} + i\left(1 + 2 + \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{11i}{3}$

Comprobación: como $z^2$ tiene primitiva $\frac{z^3}{3}$, $\int_C z^2 dz = \frac{(2+i)^3 - 1^3}{3} = \frac{(2 + 11i) - 1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{11i}{3}$ $\checkmark$

La función $f(z) = \frac{1}{z - 3i}$ tiene una singularidad simple en $z = 3i$.

$|3i| = 3 > 2$, por tanto $z = 3i$ está fuera del círculo $|z| = 2$.

Como la función es analítica en el interior y sobre la curva $C$, por el Teorema de Cauchy:

$\oint_C \frac{dz}{z - 3i} = 0$

Parametrizando $C$: $z(t) = 2e^{it}$, $0 \leq t \leq 2\pi$

$z'(t) = 2ie^{it}$

$\oint_C \frac{dz}{z - 3i} = \int_0^{2\pi} \frac{2ie^{it}}{2e^{it} - 3i} dt$

$= 2i\int_0^{2\pi} \frac{e^{it}}{2e^{it} - 3i} dt$

Este integral es complejo de evaluar directamente, pero el Teorema de Cauchy nos da la respuesta inmediata: $0$.

$z(t) = t + it^2$, $0 \leq t \leq 1$

$z'(t) = 1 + 2it$

$\bar{z}(t) = t - it^2$

$z^3(t) = (t + it^2)^3$

Usando $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$= t^3 + 3t^2(it^2) + 3t(it^2)^2 + (it^2)^3$

$= t^3 + 3it^4 + 3t(i^2t^4) + i^3t^6$

$= t^3 + 3it^4 - 3t^5 - it^6$

$= (t^3 - 3t^5) + i(3t^4 - t^6)$

$z^3 + \bar{z} = (t^3 - 3t^5) + i(3t^4 - t^6) + (t - it^2)$

$= (t^3 - 3t^5 + t) + i(3t^4 - t^6 - t^2)$

$= t(1 + t^2 - 3t^4) + it^2(3t^2 - t^4 - 1)$

$\int_C (z^3 + \bar{z}) dz = \int_0^1 [t(1 + t^2 - 3t^4) + it^2(3t^2 - t^4 - 1)](1 + 2it) dt$

Desarrollando $(1 + 2it)$:

Parte real: $t(1 + t^2 - 3t^4) - 2t^3(3t^2 - t^4 - 1)$

$= t + t^3 - 3t^5 - 2t^3(3t^2 - t^4 - 1)$

$= t + t^3 - 3t^5 - 6t^5 + 2t^7 + 2t^3$

$= t + 3t^3 - 9t^5 + 2t^7$

Parte imaginaria: $t^2(3t^2 - t^4 - 1) + 2t \cdot t(1 + t^2 - 3t^4)$

$= 3t^4 - t^6 - t^2 + 2t^2(1 + t^2 - 3t^4)$

$= 3t^4 - t^6 - t^2 + 2t^2 + 2t^4 - 6t^6 = t^2 + 5t^4 - 7t^6$

$\int_0^1 (t + 3t^3 - 9t^5 + 2t^7) dt = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{9}{6} + \frac{2}{8}$

$= \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{3}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2 + 3 - 6 + 1}{4} = 0$

$\int_0^1 (t^2 + 5t^4 - 7t^6) dt = \frac{1}{3} + 1 - 1 = \frac{1}{3}$

Por tanto: $\int_C (z^3 + \bar{z}) dz = 0 + \frac{i}{3} = \frac{i}{3}$

Comprobación: $\int_C z^3 dz = \frac{(1+i)^4}{4} - 0 = -1$ y $\int_C \bar{z}\, dz = \int_0^1 (t - it^2)(1 + 2it)\, dt = \int_0^1 (t + 2t^3 + it^2)\, dt = 1 + \frac{i}{3}$; la suma es $\frac{i}{3}$ $\checkmark$

Sea $C$ parametrizada por $z(t) = x(t) + iy(t)$, $a \leq t \leq b$.

La longitud de $C$ es: $L = \int_a^b |z'(t)| dt$

$\int_C f(z) dz = \int_a^b f(z(t)) z'(t) dt$

$\left|\int_C f(z) dz\right| = \left|\int_a^b f(z(t)) z'(t) dt\right| \leq \int_a^b |f(z(t)) z'(t)| dt$

$|f(z(t)) z'(t)| = |f(z(t))| \cdot |z'(t)|$

Por tanto:

$\left|\int_C f(z) dz\right| \leq \int_a^b |f(z(t))| \cdot |z'(t)| dt$

Como $|f(z)| \leq M$ para todo $z$ en $C$, tenemos $|f(z(t))| \leq M$ para todo $t \in [a,b]$.

$\left|\int_C f(z) dz\right| \leq \int_a^b M \cdot |z'(t)| dt = M \int_a^b |z'(t)| dt = ML$

Consideremos $\int_C \frac{dz}{z}$ donde $C$ es el círculo $|z| = 2$.

Aquí $|f(z)| = \frac{1}{|z|} = \frac{1}{2}$ en $C$, y $L = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

Por tanto: $\left|\int_C \frac{dz}{z}\right| \leq \frac{1}{2} \cdot 4\pi = 2\pi$

En este caso específico, sabemos que $\int_C \frac{dz}{z} = 2\pi i$, por tanto $\left|\int_C \frac{dz}{z}\right| = 2\pi$, y la desigualdad se satisface con igualdad.