Ejercicios resueltos de campos de direcciones

En $(0{,}0)$: $y' = 0 - 0 = 0$

En $(1{,}0)$: $y' = 1 - 0 = 1$

En $(0{,}1)$: $y' = 0 - 1 = -1$

En $(2{,}1)$: $y' = 2 - 1 = 1$

En $(1{,}2)$: $y' = 1 - 2 = -1$

• Pendiente 0: líneas horizontales en $(0{,}0)$
• Pendiente 1: líneas con inclinación $45^\circ$ en $(1{,}0)$ y $(2{,}1)$
• Pendiente -1: líneas con inclinación $-45^\circ$ en $(0{,}1)$ y $(1{,}2)$

Los puntos donde $x = y$ tienen pendiente 0, formando la isoclina $y = x$.

Para pendiente $m$: $\frac{x}{y} = m$, entonces $x = my$

• $m = 0$: $x = 0$ (eje y, excluyendo el origen)
• $m = 1$: $x = y$ (línea $y = x$, excluyendo el origen)
• $m = -1$: $x = -y$ (línea $y = -x$, excluyendo el origen)
• $m = 2$: $x = 2y$ (línea $y = \frac{x}{2}$, excluyendo el origen)

• En el eje x ($y = 0$): la pendiente no está definida (líneas verticales)
• En el origen: la función no está definida
• Para $y > 0$: las pendientes tienen el mismo signo que $x$
• Para $y < 0$: las pendientes tienen el signo opuesto a $x$

Las curvas solución son hipérbolas $x^2 - y^2 = C$ (separables: $y dy = x dx$).

Los puntos de equilibrio satisfacen $y' = 0$:

$x^2 + y^2 = 0$

Como $x^2 \geq 0$ y $y^2 \geq 0$ para números reales, la única solución es $x = 0$ y $y = 0$.

Por lo tanto, $(0{,}0)$ es el único punto del plano donde la pendiente es nula. Atención: no es un «punto de equilibrio». Una solución de equilibrio es una solución constante $y(x) \equiv c$, que exigiría $x^2 + c^2 = 0$ para todo $x$, lo cual es imposible. Esta ecuación no tiene soluciones de equilibrio: el concepto es propio de las ecuaciones autónomas $y' = f(y)$.

En cualquier punto $(x,y) \neq (0{,}0)$: $y' = x^2 + y^2 > 0$

• $(1{,}0)$: $y' = 1 + 0 = 1$
• $(0{,}1)$: $y' = 0 + 1 = 1$
• $(1{,}1)$: $y' = 1 + 1 = 2$
• $(-1{,}0)$: $y' = 1 + 0 = 1$
• $(0,-1)$: $y' = 0 + 1 = 1$

Para pendiente $m$: $x^2 + y^2 = m$

• $m = 1$: círculo unitario $x^2 + y^2 = 1$
• $m = 4$: círculo $x^2 + y^2 = 4$

Todas las pendientes son positivas (excepto en el origen), indicando que las soluciones son siempre crecientes. Las curvas solución se alejan del origen con pendientes cada vez mayores.

$y' = 0$ cuando $\sin(x) = 0$ o $\cos(y) = 0$

• $\sin(x) = 0$: $x = n\pi$ para cualquier entero $n$
• $\cos(y) = 0$: $y = \frac{\pi}{2} + n\pi$ para cualquier entero $n$

Las líneas $y = \frac{\pi}{2} + n\pi$ son isoclinas donde $y' = 0$ para todo $x$ (y además son soluciones constantes). Las rectas verticales $x = n\pi$ también son isoclinas de pendiente $0$, pero no son soluciones: solo indican que las soluciones tienen tangente horizontal al cruzarlas.

La función tiene periodo $2\pi$ en $x$ y $2\pi$ en $y$.

$\frac{dy}{\cos(y)} = \sin(x) dx$

$\int \sec(y) dy = \int \sin(x) dx$

$\ln|\sec(y) + \tan(y)| = -\cos(x) + C$

• Para $y = 0$: $\tan(0) = 0$, $\sec(0) = 1$

$\ln(1) = -\cos(x) + C \Rightarrow 0 = -\cos(x) + C$

$C = \cos(x)$, lo que es contradictorio para una constante: la recta $y = 0$ no es una curva solución. La solución que pasa por $(0{,}0)$ corresponde a $C = 1$: $\ln|\sec(y) + \tan(y)| = 1 - \cos(x)$.

• Entre las líneas $y = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$ y $y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (donde $\cos y > 0$), las soluciones son crecientes cuando $\sin(x) > 0$ y decrecientes cuando $\sin(x) < 0$. Entre $y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ y $y = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ (donde $\cos y < 0$) ocurre lo contrario.
• Las líneas $y = \frac{\pi}{2} + n\pi$ son soluciones constantes (equilibrios).