Ejercicios resueltos de funciones armónicas

$\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 6x$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -6xy$

$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -6x$

$\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 6x + (-6x) = 0$ $\checkmark$

De las condiciones de Cauchy-Riemann:

$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} = -(-6xy) = 6xy$

$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2$

De la primera ecuación: $v = \int 6xy \, dx = 3x^2y + g(y)$

Derivando respecto a $y$: $\frac{\partial v}{\partial y} = 3x^2 + g'(y)$

Comparando con la segunda condición: $3x^2 + g'(y) = 3x^2 - 3y^2$

Por tanto: $g'(y) = -3y^2 \Rightarrow g(y) = -y^3 + C$

$v(x,y) = 3x^2y - y^3 + C$

Verificación: $f(z) = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3) = z^3$

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2y + 2x$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 2$

$\frac{\partial u}{\partial y} = 2x - 2y$

$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -2$

$\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2 + (-2) = 0$ $\checkmark$

$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} = -(2x - 2y) = 2y - 2x$

$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} = 2y + 2x$

$v = \int (2y - 2x) \, dx = 2yx - x^2 + h(y)$

Derivando respecto a $y$: $\frac{\partial v}{\partial y} = 2x + h'(y)$

$2x + h'(y) = 2y + 2x \Rightarrow h'(y) = 2y \Rightarrow h(y) = y^2 + C$

Por tanto: $v(x,y) = 2xy - x^2 + y^2 + C$

$f(z) = u + iv = (2xy + x^2 - y^2) + i(2xy - x^2 + y^2)$

$= (x^2 - y^2) + 2xy + i[2xy + (y^2 - x^2)]$

$= (x^2 - y^2 + 2ixy) + 2xy + i(y^2 - x^2)$

$= z^2 - i\left[(x^2 - y^2) + 2ixy\right] = z^2 - iz^2$

Por tanto: $f(z) = (1 - i)z^2 + iC$ (con $C$ real)

Verificación: $(1 - i)(x^2 - y^2 + 2ixy) = (x^2 - y^2 + 2xy) + i(2xy - x^2 + y^2)$ $\checkmark$

Este es un problema clásico que se resuelve usando la función arcotangente. La solución tiene la forma de una función que cambia de $-1$ a $1$ al cruzar el eje real.

La función armónica buscada es:

$u(x,y) = 1 - \frac{2}{\pi}\,\theta$, con $\theta = \text{Arg}(x + iy) \in (0, \pi)$ en el semiplano $y > 0$

(para $x > 0$, $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$; para $x < 0$, $\theta = \pi + \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$).

Para $y \to 0^+$:

• Si $x > 0$: $\theta \to 0$, luego $u \to 1$ $\checkmark$
• Si $x < 0$: $\theta \to \pi$, luego $u \to 1 - 2 = -1$ $\checkmark$

Basta ver que $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \text{cte}$ es armónica:

$\frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2 + y^2}$, $\quad \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x^2 + y^2}$, $\quad \frac{\partial^2 \theta}{\partial y^2} = -\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

$\nabla^2 \theta = 0$, y por tanto $\nabla^2 u = -\frac{2}{\pi}\nabla^2 \theta = 0$ $\checkmark$

Como $\text{Log}\, z = \ln|z| + i\theta$, se tiene $\frac{2i}{\pi}\text{Log}\, z = -\frac{2}{\pi}\theta + i\,\frac{2}{\pi}\ln|z|$. Por tanto:

$f(z) = 1 + \frac{2i}{\pi}\text{Log}\, z$ (rama principal), que cumple $\text{Re}\, f = u$

y la conjugada armónica es $v(x,y) = \frac{2}{\pi}\ln\sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{\pi}\ln(x^2 + y^2)$.

Una función armónica en un dominio acotado alcanza su máximo y mínimo en la frontera del dominio, a menos que sea constante.

Supongamos que $u$ es armónica en $D$ y continua en $\overline{D}$ (el cierre de $D$), y que $u = 0$ en $\partial D$ (la frontera).

Por el principio del máximo, el máximo de $u$ en $\overline{D}$ se alcanza en $\partial D$.

Como $u = 0$ en $\partial D$, tenemos $\max_{\overline{D}} u = 0$.

Similarmente, $-u$ también es armónica (como combinación lineal de funciones armónicas).

El máximo de $-u$ también se alcanza en la frontera, donde $-u = 0$.

Por tanto, $\max_{\overline{D}}(-u) = 0$, lo que implica $\min_{\overline{D}} u = 0$.

Tenemos que:

• $\max_{\overline{D}} u = 0$
• $\min_{\overline{D}} u = 0$

Por tanto, $0 \leq u(x,y) \leq 0$ para todo $(x,y) \in \overline{D}$.

Esto implica que $u(x,y) = 0$ para todo $(x,y) \in D$.

Alternativamente, consideremos $u_1 = u$ y $u_2 = 0$ (que es obviamente armónica).

Ambas satisfacen la ecuación de Laplace en $D$ y coinciden en la frontera.

Por el principio de unicidad para el problema de Dirichlet, $u_1 = u_2$ en $D$.

Por tanto, $u = 0$ en $D$.