Matemáticas I · Tema 2 · Sección 2.1

Ejercicios resueltos de operaciones elementales

4 ejercicios resueltos paso a paso del tema 2 de Matemáticas I (Introducción al álgebra lineal). El enunciado está a la vista y la solución, plegada: intenta cada ejercicio antes de abrirla.

suma matrices
multiplicación
operaciones básicas
cálculo matricial

Practicar en la app Teoría en el manual (p. 40)

Ejercicio 1

Dificultad: Básico

Dadas las matrices:

$A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$

Calcular:

a) $A + B$

b) $3A - 2B$

c) $AB$

d) $BA$

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Paso 1
Suma de matrices
$A + B = \begin{pmatrix} 3+2 & -2+1 \\ 1+(-3) & 4+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$
Paso 2
Combinación lineal
$3A - 2B = \begin{pmatrix} 9 & -6 \\ 3 & 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -6 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -8 \\ 9 & 8 \end{pmatrix}$
Paso 3
Multiplicación $AB$
$AB = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) & 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \\ 1 \cdot 2 + 4 \cdot (-3) & 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -1 \\ -10 & 9 \end{pmatrix}$
Paso 4
Multiplicación $BA$
$BA = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 & 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 \\ (-3) \cdot 3 + 2 \cdot 1 & (-3) \cdot (-2) + 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ -7 & 14 \end{pmatrix}$

Ejercicio 2

Dificultad: Intermedio

Para las matrices:

$P = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ , $Q = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ , $R = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Calcular:

a) $P + Q$

b) $2P - 3Q$

c) $PR$

d) $QR$

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Paso 1
Suma de matrices 2×3
$P + Q = \begin{pmatrix} 1+2 & 3+(-1) & -1+1 \\ 2+3 & 0+2 & 4+(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 5 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
Paso 2
Combinación lineal de matrices
$2P - 3Q = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -2 \\ 4 & 0 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & -3 & 3 \\ 9 & 6 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 9 & -5 \\ -5 & -6 & 14 \end{pmatrix}$
Paso 3
Multiplicación matriz×vector $PR$
$PR = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 \\ 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 10 \end{pmatrix}$
Paso 4
Multiplicación matriz×vector $QR$
$QR = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

Calcular:

a) $AB$

b) $AC$

c) $A^2$

d) $(A + B)C$ si es posible

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Paso 1
Multiplicación $AB$ (3×3 por 3×3)
$AB = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 & 2 \cdot 0 + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) & 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 & 0 \cdot 0 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) & 0 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + 4 \cdot 3 & 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 + 4 \cdot (-1) & 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 4 \cdot 0 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} -2 & 3 & 5 \\ 3 & 4 & 3 \\ 14 & -6 & 1 \end{pmatrix}$
Paso 2
Multiplicación $AC$ (3×3 por 3×2)
$AC = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 & 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \\ 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 4 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 6 & 9 \\ -1 & 10 \end{pmatrix}$
Paso 3
Cálculo de $A^2 = AA$
$A^2 = \begin{pmatrix} 4+0-1 & 2+3+1 & -2+2-4 \\ 0+0+2 & 0+9-2 & 0+6+8 \\ 2+0+4 & 1-3-4 & -1-2+16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 & -4 \\ 2 & 7 & 14 \\ 6 & -6 & 13 \end{pmatrix}$
Paso 4
Multiplicación $(A + B)C$ (3×3 por 3×2: sí es posible, resultado 3×2)
Primero: $A + B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ -1 & 5 & 3 \\ 4 & -2 & 4 \end{pmatrix}$
Luego: $(A + B)C = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 9 & 15 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$

Ejercicio 4

Dificultad: Experto

Una empresa de manufactura representa su sistema de producción mediante matrices. La matriz de demanda semanal es $D = \begin{pmatrix} 200 & 150 & 300 \\ 100 & 250 & 200 \end{pmatrix}$ (filas: semanas, columnas: productos), y la matriz de costos unitarios es $C = \begin{pmatrix} 12 \\ 18 \\ 15 \end{pmatrix}$ ($/unidad).

Calcular:

a) Costo total por semana

b) Si los costos aumentan 15%, nueva matriz de costos

c) Demanda total por producto

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Paso 1
Costo total por semana mediante $DC$
$DC = \begin{pmatrix} 200 \cdot 12 + 150 \cdot 18 + 300 \cdot 15 \\ 100 \cdot 12 + 250 \cdot 18 + 200 \cdot 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2400 + 2700 + 4500 \\ 1200 + 4500 + 3000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9600 \\ 8700 \end{pmatrix}$
Semana 1: $9 600; Semana 2: $8 700
Paso 2
Nueva matriz de costos con aumento del 15%
$C_{nuevo} = 1.15C = 1.15 \begin{pmatrix} 12 \\ 18 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13.80 \\ 20.70 \\ 17.25 \end{pmatrix}$
Paso 3
Demanda total por producto (suma por columnas)
Producto 1: $200 + 100 = 300$ unidades
Producto 2: $150 + 250 = 400$ unidades
Producto 3: $300 + 200 = 500$ unidades
Paso 4
Verificación con nuevos costos
Nuevo costo semana 1: $200(13.80) + 150(20.70) + 300(17.25) = 2760 + 3105 + 5175 = 11\,040$