Matemáticas I · Tema 2 · Sección 2.5

Ejercicios resueltos de matrices especiales

4 ejercicios resueltos paso a paso del tema 2 de Matemáticas I (Introducción al álgebra lineal). El enunciado está a la vista y la solución, plegada: intenta cada ejercicio antes de abrirla.

matriz identidad
matriz cero
matriz diagonal
tipos especiales

Practicar en la app Teoría en el manual (p. 46)

Ejercicio 1

Dificultad: Básico

Identificar y clasificar las siguientes matrices especiales:

a) $\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

b) $\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

c) $\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 5 & 3 & -2 \\ 1 & -2 & 4 \end{pmatrix}$

d) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Ver solución paso a paso4 pasos

Paso 1
Clasificación de la matriz a)
$\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
Tipo: Matriz diagonal con elementos $\text{diag}(5, -3, 2)$
Paso 2
Clasificación de la matriz b)
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
Tipo: Matriz triangular superior (todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero)
Paso 3
Clasificación de la matriz c)
$\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 5 & 3 & -2 \\ 1 & -2 & 4 \end{pmatrix}$
Tipo: Matriz simétrica ( $a_{ij} = a_{ji}$ : $a_{12} = a_{21} = 5$ , $a_{13} = a_{31} = 1$ , $a_{23} = a_{32} = -2$ )
Paso 4
Clasificación de la matriz d)
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Tipo: Matriz identidad $I_3$ (caso especial de matriz diagonal con todos los elementos diagonales iguales a 1)

Ejercicio 2

Dificultad: Intermedio

Trabajar con matrices triangulares. Dadas:

$L = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ , $U = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Calcular:

a) $LU$

b) $|L|$ y $|U|$

c) $|LU|$

d) Verificar que $|LU| = |L||U|$

Ver solución paso a paso4 pasos

Paso 1
Multiplicación $LU$
$LU = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot 3 + (-1) \cdot 0 & 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 & 3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) \\ 1 \cdot 3 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 & 1 \cdot 2 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) + 5 \cdot 2 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 6 & 4 & 2 \\ 9 & 2 & 5 \\ 3 & 18 & 3 \end{pmatrix}$
Paso 2
Determinantes de matrices triangulares
$|L| = 2 \cdot (-1) \cdot 5 = -10$ (producto de elementos diagonales)
$|U| = 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ (producto de elementos diagonales)
Paso 3
Determinante del producto $|LU|$
Expandiendo por la primera fila:
$|LU| = 6 \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 18 & 3 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 9 & 5 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 9 & 2 \\ 3 & 18 \end{vmatrix}$
$= 6(6 - 90) - 4(27 - 15) + 2(162 - 6) = 6(-84) - 4(12) + 2(156) = -504 - 48 + 312 = -240$
Paso 4
Verificación de la propiedad
$|L| \cdot |U| = (-10) \cdot 24 = -240 = |LU|$ ✓

Ejercicio 3

Dificultad: Avanzado

Estudiar potencias de matrices diagonales y sus propiedades. Sea:

$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Calcular:

a) $D^2$ , $D^3$ , $D^4$

b) $D^n$ (fórmula general)

c) $D^{-1}$ si existe

d) Aplicaciones prácticas

Ver solución paso a paso4 pasos

Paso 1
Cálculo de potencias sucesivas
$D^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$
$D^3 = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 27 \end{pmatrix}$
$D^4 = \begin{pmatrix} 16 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 81 \end{pmatrix}$
Paso 2
Fórmula general para $D^n$
$D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}$
Cada elemento diagonal se eleva a la potencia $n$ .
Paso 3
Cálculo de la inversa $D^{-1}$
$D^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$
Verificación: $DD^{-1} = I$ ✓
Paso 4
Aplicaciones prácticas
- Sistemas dinámicos: $x_{n+1} = Dx_n$ tiene solución $x_n = D^n x_0$
- Crecimiento exponencial: Cada componente crece según su elemento diagonal
- Análisis de estabilidad: $|d_{ii}| < 1$ implica convergencia a cero

Ejercicio 4

Dificultad: Experto

En ingeniería de control, una matriz de rotación y escalamiento tiene la forma:

$T = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{pmatrix}$

Con $\theta = 30°$ , $s_x = 2$ , $s_y = 0.5$ :

a) Calcular $T$ b) Verificar $|T|$ c) Calcular $T^{-1}$ d) Interpretar geométricamente

Ver solución paso a paso4 pasos

Paso 1
Cálculo de la matriz de transformación
$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ , $\sin 30° = \frac{1}{2} = 0.5$
$T = \begin{pmatrix} 0.866 & -0.5 \\ 0.5 & 0.866 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.732 & -0.25 \\ 1 & 0.433 \end{pmatrix}$
Paso 2
Cálculo del determinante
$|T| = 1.732 \cdot 0.433 - (-0.25) \cdot 1 = 0.750 + 0.25 = 1.0$
Alternativamente: $|T| = |\text{rotación}| \cdot |\text{escalamiento}| = 1 \cdot (2 \cdot 0.5) = 1$
Paso 3
Cálculo de la inversa
$T^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 0.433 & 0.25 \\ -1 & 1.732 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.433 & 0.25 \\ -1 & 1.732 \end{pmatrix}$
Paso 4
Interpretación geométrica
- Rotación de 30° en sentido antihorario
- Escalamiento: duplica en x, reduce a la mitad en y
- $|T| = 1$ indica que el área se conserva globalmente
- La transformación es invertible (determinante no nulo)