Matemáticas I · Tema 2 · Sección 2.2

Ejercicios resueltos de propiedades de matrices

4 ejercicios resueltos paso a paso del tema 2 de Matemáticas I (Introducción al álgebra lineal). El enunciado está a la vista y la solución, plegada: intenta cada ejercicio antes de abrirla.

propiedades
conmutativa
asociativa
distributiva
identidad

Practicar en la app Teoría en el manual (p. 44)

Ejercicio 1

Dificultad: Básico

Verificar que la multiplicación de matrices no es conmutativa usando:

$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ , $N = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

Calcular $MN$ y $NM$ , y demostrar que $MN \neq NM$

Ver solución paso a paso4 pasos

Paso 1
Cálculo de $MN$
$MN = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 & 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$
Paso 2
Cálculo de $NM$
$NM = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 & 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 \\ 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 & 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$
Paso 3
Comparación
$MN = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = NM$
Paso 4
Conclusión
La diferencia en múltiples elementos confirma que $MN \neq NM$ , demostrando la no conmutatividad del producto matricial.

Ejercicio 2

Dificultad: Intermedio

Demostrar las propiedades distributivas del producto matricial con:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

Verificar que:

a) $A(B + C) = AB + AC$

b) $(A + B)C = AC + BC$

Ver solución paso a paso4 pasos

Paso 1
Verificación de $A(B + C) = AB + AC$
Primero: $B + C = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$
$A(B + C) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 9 \\ 12 & 2 \end{pmatrix}$
Paso 2
Cálculo de $AB + AC$
$AB = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}$ , $AC = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}$
$AB + AC = \begin{pmatrix} 9 & 9 \\ 12 & 2 \end{pmatrix}$ ✓
Paso 3
Verificación de $(A + B)C = AC + BC$
$A + B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$
$(A + B)C = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 12 & 4 \end{pmatrix}$
Paso 4
Cálculo de $AC + BC$
$BC = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}$
$AC + BC = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 12 & 4 \end{pmatrix}$ ✓

Ejercicio 3

Dificultad: Avanzado

Investigar las propiedades de la matriz identidad con:

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

Verificar que:

a) $AI = A$

b) $IA = A$

c) $A^0 = I$ (por definición)

d) Propiedades de potencias

Ver solución paso a paso4 pasos

Paso 1
Verificación de $AI = A$
$AI = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 3 \cdot 0 & 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 3 \cdot 0 & 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 3 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = A$ ✓
Paso 2
Verificación de $IA = A$
Por la conmutatividad con la identidad, $IA = A$ ✓
Paso 3
Cálculo de $A^2$ para verificar propiedades de potencias
$A^2 = AA = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 11 \\ 6 & 9 & -7 \\ 3 & 15 & -5 \end{pmatrix}$
Paso 4
Propiedades verificadas
- $A^0 = I$ por definición
- $A^1 = A$
- $A^2$ calculada arriba
- $I$ actúa como elemento neutro multiplicativo

Analizar el comportamiento de matrices especiales en un sistema de control industrial. Una planta tiene una matriz de estado $S = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.2 & 0 \\ 0.1 & 0.7 & 0.2 \\ 0 & 0.3 & 0.5 \end{pmatrix}$ y matriz de control $U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0.9 \\ 0.1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Investigar:

a) $S^2$ y $S^3$

b) Comportamiento a largo plazo

c) Efecto del control

Ver solución paso a paso4 pasos

Paso 1
Cálculo de $S^2$
$S^2 = \begin{pmatrix} 0.66 & 0.30 & 0.04 \\ 0.15 & 0.57 & 0.24 \\ 0.03 & 0.36 & 0.31 \end{pmatrix}$
Paso 2
Cálculo de $S^3$
$S^3 = S \cdot S^2 = \begin{pmatrix} 0.558 & 0.354 & 0.080 \\ 0.177 & 0.501 & 0.234 \\ 0.060 & 0.351 & 0.227 \end{pmatrix}$
Paso 3
Análisis del comportamiento
- Las filas 1 y 2 de $S$ suman 1, pero la fila 3 suma $0.3 + 0.5 = 0.8$ : $S$ no es estocástica (en el estado 3 se pierde un 20% en cada paso)
- Por eso las sumas por filas de las potencias disminuyen: en $S^2$ son $1$ , $0.96$ y $0.70$ ; en $S^3$ , $0.992$ , $0.912$ y $0.638$
- A largo plazo $S^n \to 0$ : sin entrada de control, el sistema tiende al estado nulo (se justificará con los valores propios de $S$ , todos de módulo menor que 1)
Paso 4
Efecto del control mediante $SU$
$SU = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.18 \\ 0.12 & 0.63 \\ 0.05 & 0.27 \end{pmatrix}$
La matriz de control modifica la dinámica del sistema, permitiendo ajustar las transiciones entre estados.