Ejercicios resueltos de ecuaciones con números complejos

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i$

Verificación para $z = 2 + i$: $(2 + i)^2 - 4(2 + i) + 5 = 4 + 4i - 1 - 8 - 4i + 5 = 0$ ✓

$z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$

Verificación para $z = -1 + i$: $(-1 + i)^2 + 2(-1 + i) + 2 = 1 - 2i - 1 - 2 + 2i + 2 = 0$ ✓

$z = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i$

Verificación para $z = 3 + 2i$: $(3 + 2i)^2 - 6(3 + 2i) + 13 = 9 + 12i - 4 - 18 - 12i + 13 = 0$ ✓

$z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-4 \pm 4i}{2} = -2 \pm 2i$

Verificación para $z = -2 + 2i$: $(-2 + 2i)^2 + 4(-2 + 2i) + 8 = 4 - 8i - 4 - 8 + 8i + 8 = 0$ ✓

De las ecuaciones: $z + w = 3 + 2i$ y $z - w = 1 - 4i$

Sumando: $2z = 4 - 2i \Rightarrow z = 2 - i$

Restando: $2w = 2 + 6i \Rightarrow w = 1 + 3i$

Verificación: $(2 - i) + (1 + 3i) = 3 + 2i$ ✓, $(2 - i) - (1 + 3i) = 1 - 4i$ ✓

De $2z + 3w = 7 + i$ y $z - 2w = -1 + 5i$

De la segunda: $z = -1 + 5i + 2w$

Sustituyendo: $2(-1 + 5i + 2w) + 3w = 7 + i$

$-2 + 10i + 4w + 3w = 7 + i$

$7w = 9 - 9i \Rightarrow w = \frac{9 - 9i}{7}$

$z = -1 + 5i + 2 \cdot \frac{9 - 9i}{7} = -1 + 5i + \frac{18 - 18i}{7} = \frac{-7 + 35i + 18 - 18i}{7} = \frac{11 + 17i}{7}$

Sean $z = 2e^{i\alpha}$ y $w = e^{i\beta}$

$z\overline{w} = 2e^{i\alpha} \cdot e^{-i\beta} = 2e^{i(\alpha - \beta)} = 2 + 3i$

$2e^{i(\alpha - \beta)} = \sqrt{13}e^{i\arctan(3/2)}$

$\alpha - \beta = \arctan(3/2)$ y $2 = \sqrt{13}$ (contradicción)

Necesitamos reconsiderar: si $z\overline{w} = 2 + 3i$, entonces $|z\overline{w}| = |z||\overline{w}| = |z||w| = 2 \cdot 1 = 2$

Pero $|2 + 3i| = \sqrt{13} \neq 2$, por tanto no hay solución.

De $z^2 + w^2 = 5$ y $zw = 2i$

$(z + w)^2 = z^2 + 2zw + w^2 = 5 + 2(2i) = 5 + 4i$

$(z - w)^2 = z^2 - 2zw + w^2 = 5 - 2(2i) = 5 - 4i$

$z + w = \pm\sqrt{5 + 4i}$, $z - w = \pm\sqrt{5 - 4i}$

Para $\sqrt{5 + 4i}$: si $\sqrt{5 + 4i} = a + bi$, entonces $(a + bi)^2 = 5 + 4i$

$a^2 - b^2 + 2abi = 5 + 4i \Rightarrow a^2 - b^2 = 5, 2ab = 4$

$b = \frac{2}{a}$, por tanto $a^2 - \frac{4}{a^2} = 5$

$a^4 - 5a^2 - 4 = 0 \Rightarrow a^2 = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$

Tomando la raíz positiva: $a^2 = \frac{5 + \sqrt{41}}{2} \Rightarrow a = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{41}}{2}} \approx 2{,}388$, y $b = \frac{2}{a} = \sqrt{\frac{\sqrt{41} - 5}{2}} \approx 0{,}838$

Así, $\sqrt{5 + 4i} = \pm(a + bi)$ y, del mismo modo, $\sqrt{5 - 4i} = \pm(a - bi)$.

Como $z = \frac{(z + w) + (z - w)}{2}$ y $w = \frac{(z + w) - (z - w)}{2}$, combinando los signos:

• $z + w = a + bi$, $z - w = a - bi$: $z = a$, $w = bi$
• $z + w = a + bi$, $z - w = -(a - bi)$: $z = bi$, $w = a$
• Cambiando los dos signos se obtienen las opuestas: $z = -a$, $w = -bi$ y $z = -bi$, $w = -a$

Comprobación con $z = a$, $w = bi$: $z^2 + w^2 = a^2 - b^2 = 5$ ✓ y $zw = abi = 2i$ ✓

Soluciones: $(z, w) \in \{(a, bi), (bi, a), (-a, -bi), (-bi, -a)\}$

$z^2(z - 1) + 1(z - 1) = 0$

$(z^2 + 1)(z - 1) = 0$

$z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1$

$z^2 + 1 = 0 \Rightarrow z = \pm i$

Soluciones: $z \in \{1, i, -i\}$

Sea $u = z^2$, entonces $u^2 + u + 1 = 0$

$u = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$

$u_1 = e^{i2\pi/3}$, $u_2 = e^{i4\pi/3}$

Para $z^2 = e^{i2\pi/3}$: $z = \pm e^{i\pi/3} = \pm\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$

Para $z^2 = e^{i4\pi/3}$: $z = \pm e^{i2\pi/3} = \pm\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$

Método directo: $z^3 = 8 = 8e^{i0}$

$z_k = 2e^{i2\pi k/3}$ para $k = 0, 1, 2$

$z_0 = 2$, $z_1 = 2e^{i2\pi/3} = -1 + \sqrt{3}i$, $z_2 = 2e^{i4\pi/3} = -1 - \sqrt{3}i$

Método de factorización: $z^3 - 8 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4) = 0$

$z = 2$ o $z^2 + 2z + 4 = 0 \Rightarrow z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}i$

Ambos métodos dan el mismo resultado ✓

$z^6 - 1 = (z^3)^2 - 1^2 = (z^3 - 1)(z^3 + 1)$

$z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)$

$z^3 + 1 = (z + 1)(z^2 - z + 1)$

$z^6 - 1 = (z - 1)(z + 1)(z^2 + z + 1)(z^2 - z + 1)$

Las seis raíces son las raíces sextas de la unidad:

$1, -1, e^{i\pi/3}, e^{i2\pi/3}, e^{i4\pi/3}, e^{i5\pi/3}$

Si $z^n = w = re^{i\theta}$, entonces:

$z_k = r^{1/n}e^{i(\theta + 2\pi k)/n}$ para $k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$

Hay exactamente $n$ raíces n-ésimas distintas de cualquier número complejo no nulo.

$\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i = e^{i\pi/2}$

$z^4 = e^{i\pi/2}$

$z_k = e^{i(\pi/2 + 2\pi k)/4} = e^{i\pi(4k+1)/8}$ para $k = 0, 1, 2, 3$

$z_0 = e^{i\pi/8}$, $z_1 = e^{i5\pi/8}$, $z_2 = e^{i9\pi/8}$, $z_3 = e^{i13\pi/8}$

Sea $z = re^{i\theta}$, entonces $\overline{z} = re^{-i\theta}$

$z^3 + \overline{z}^3 = r^3e^{i3\theta} + r^3e^{-i3\theta} = 2r^3\cos(3\theta) = 8$

$r^3\cos(3\theta) = 4$

Esta condición no fija $r$ y $\theta$ por separado: hay infinitas soluciones. Para cada $\theta$ con $\cos(3\theta) > 0$ hay exactamente una, $r = \sqrt[3]{4/\cos(3\theta)}$. En cartesianas, con $z = x + yi$: $z^3 + \overline{z}^3 = 2\,\text{Re}(z^3) = 2(x^3 - 3xy^2)$, así que las soluciones son los puntos de la curva $x^3 - 3xy^2 = 4$.

Ejemplos: con $\cos(3\theta) = 1$ ($\theta = 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$) se obtiene $r = \sqrt[3]{4}$: $z = \sqrt[3]{4}$, $z = \sqrt[3]{4}\,e^{i2\pi/3}$, $z = \sqrt[3]{4}\,e^{i4\pi/3}$. Comprobación con $z = \sqrt[3]{4}$: $4 + 4 = 8$ ✓

Ojo: $z = 2$ no es solución ($8 + 8 = 16$); con $r = 2$ haría falta $\cos(3\theta) = \frac{1}{2}$.

Si $|z| = 1$, entonces $z = e^{i\theta}$ y $\overline{z} = e^{-i\theta}$

$z^3 = \overline{z} \Rightarrow e^{i3\theta} = e^{-i\theta}$

$3\theta = -\theta + 2\pi k \Rightarrow 4\theta = 2\pi k \Rightarrow \theta = \frac{\pi k}{2}$

Para $k = 0, 1, 2, 3$: $\theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$

Verificación: Para $z = i$ ($\theta = \pi/2$): $z^3 = i^3 = -i$ y $\overline{z} = -i$ ✓

Soluciones: $z \in \{1, i, -1, -i\}$