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Matemáticas I · Tema 2 · Sección 2.3

Ejercicios resueltos de determinantes

4 ejercicios resueltos paso a paso del tema 2 de Matemáticas I (Introducción al álgebra lineal). El enunciado está a la vista y la solución, plegada: intenta cada ejercicio antes de abrirla.

  • determinantes
  • cálculo
  • matriz 2x2
  • matriz 3x3
  • regla de Sarrus
Practicar en la appTeoría en el manual (p. 39)

Ejercicio 1

Dificultad: Básico

Calcular los siguientes determinantes de matrices 2×2:

a) ∣4325∣\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}

b) ∣−263−1∣\begin{vmatrix} -2 & 6 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}

c) ∣7−4−21∣\begin{vmatrix} 7 & -4 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}

d) ∣51012∣\begin{vmatrix} 5 & 10 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}

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  1. Paso 1
    Determinante a)

    ∣4325∣=4⋅5−3⋅2=20−6=14\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 4 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 20 - 6 = 14

  2. Paso 2
    Determinante b)

    ∣−263−1∣=(−2)⋅(−1)−6⋅3=2−18=−16\begin{vmatrix} -2 & 6 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = (-2) \cdot (-1) - 6 \cdot 3 = 2 - 18 = -16

  3. Paso 3
    Determinante c)

    ∣7−4−21∣=7⋅1−(−4)⋅(−2)=7−8=−1\begin{vmatrix} 7 & -4 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 7 \cdot 1 - (-4) \cdot (-2) = 7 - 8 = -1

  4. Paso 4
    Determinante d)

    ∣51012∣=5⋅2−10⋅1=10−10=0\begin{vmatrix} 5 & 10 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 5 \cdot 2 - 10 \cdot 1 = 10 - 10 = 0

    Nota: Este determinante es cero porque la primera fila es múltiplo de la segunda.

Ejercicio 2

Dificultad: Intermedio

Calcular el determinante de la matriz 3×3:

A=(13221−1023)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}

Usar:

a) Expansión por la primera fila

b) Expansión por la tercera columna

c) Verificar que ambos métodos dan el mismo resultado

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  1. Paso 1
    Expansión por la primera fila

    ∣A∣=1⋅∣1−123∣−3⋅∣2−103∣+2⋅∣2102∣|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}

    =1⋅(3+2)−3⋅(6−0)+2⋅(4−0)= 1 \cdot (3 + 2) - 3 \cdot (6 - 0) + 2 \cdot (4 - 0)

    =1⋅5−3⋅6+2⋅4=5−18+8=−5= 1 \cdot 5 - 3 \cdot 6 + 2 \cdot 4 = 5 - 18 + 8 = -5

  2. Paso 2
    Expansión por la tercera columna

    ∣A∣=2⋅∣2102∣−(−1)⋅∣1302∣+3⋅∣1321∣|A| = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}

    =2⋅(4−0)+1⋅(2−0)+3⋅(1−6)= 2 \cdot (4 - 0) + 1 \cdot (2 - 0) + 3 \cdot (1 - 6)

    =2⋅4+1⋅2+3⋅(−5)=8+2−15=−5= 2 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot (-5) = 8 + 2 - 15 = -5

  3. Paso 3
    Verificación

    Ambos métodos dan el mismo resultado: ∣A∣=−5|A| = -5 ✓

  4. Paso 4
    Interpretación geométrica

    El determinante negativo indica que la matriz invierte la orientación en la transformación lineal asociada.

Ejercicio 3

Dificultad: Avanzado

Usar las propiedades de los determinantes para calcular:

B=(246135012)B = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}

a) Calcular ∣B∣|B| directamente b) Factorizar y usar propiedades c) Calcular ∣2B∣|2B| d) Interpretar los resultados

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  1. Paso 1
    Cálculo directo de ∣B∣|B|

    ∣B∣=2⋅∣3512∣−4⋅∣1502∣+6⋅∣1301∣|B| = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}

    =2(6−5)−4(2−0)+6(1−0)=2−8+6=0= 2(6 - 5) - 4(2 - 0) + 6(1 - 0) = 2 - 8 + 6 = 0

  2. Paso 2
    Usando propiedades (factorización)

    Las filas son linealmente dependientes: F1=2F2−2F3F_1 = 2F_2 - 2F_3, ya que 2(1,3,5)−2(0,1,2)=(2,4,6)2(1, 3, 5) - 2(0, 1, 2) = (2, 4, 6)

    Como una fila es combinación lineal de las otras, ∣B∣=0|B| = 0

  3. Paso 3
    Cálculo de ∣2B∣|2B|

    2B=(48122610024)2B = \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 \\ 2 & 6 & 10 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}

    ∣2B∣=23∣B∣=8⋅0=0|2B| = 2^3|B| = 8 \cdot 0 = 0

  4. Paso 4
    Interpretación
    • ∣B∣=0|B| = 0 indica que las filas son linealmente dependientes
    • La matriz no es invertible
    • El volumen del paralelepípedo formado por los vectores fila es cero

Ejercicio 4

Dificultad: Experto

En ingeniería estructural, una matriz de rigidez tiene la forma:

K=(k1+k2−k20−k2k2+k3−k30−k3k3+k4)K = \begin{pmatrix} k_1 + k_2 & -k_2 & 0 \\ -k_2 & k_2 + k_3 & -k_3 \\ 0 & -k_3 & k_3 + k_4 \end{pmatrix}

donde k1=100k_1 = 100, k2=80k_2 = 80, k3=60k_3 = 60, k4=40k_4 = 40 (kN/m).

Calcular:

a) ∣K∣|K|

b) Interpretar el resultado físicamente

c) ¿Qué ocurre si k4=0k_4 = 0?

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  1. Paso 1
    Sustitución de valores

    K=(180−800−80140−600−60100)K = \begin{pmatrix} 180 & -80 & 0 \\ -80 & 140 & -60 \\ 0 & -60 & 100 \end{pmatrix}

  2. Paso 2
    Cálculo del determinante

    ∣K∣=180⋅∣140−60−60100∣−(−80)⋅∣−80−600100∣+0|K| = 180 \cdot \begin{vmatrix} 140 & -60 \\ -60 & 100 \end{vmatrix} - (-80) \cdot \begin{vmatrix} -80 & -60 \\ 0 & 100 \end{vmatrix} + 0

    =180(14000−3600)+80(−8000−0)= 180(14000 - 3600) + 80(-8000 - 0)

    =180⋅10400+80⋅(−8000)= 180 \cdot 10400 + 80 \cdot (-8000)

    =1,872,000−640,000=1,232,000= 1{,}872{,}000 - 640{,}000 = 1{,}232{,}000 kN³/m³

  3. Paso 3
    Interpretación física
    • ∣K∣>0|K| > 0 indica que el sistema estructural es estable
    • La matriz es invertible, por lo que existe una solución única
    • El sistema puede resistir cargas aplicadas
  4. Paso 4
    Caso especial con k4=0k_4 = 0

    Si k4=0k_4 = 0: K=(180−800−80140−600−6060)K = \begin{pmatrix} 180 & -80 & 0 \\ -80 & 140 & -60 \\ 0 & -60 & 60 \end{pmatrix}

    ∣K∣=180(140⋅60−3600)+80(−80⋅60)=864 000−384 000=480 000≠0|K| = 180(140 \cdot 60 - 3600) + 80(-80 \cdot 60) = 864\,000 - 384\,000 = 480\,000 \neq 0

    El determinante disminuye (el sistema es menos rígido), pero sigue siendo positivo: el muelle k1k_1 mantiene el sistema anclado. Solo si además k1=0k_1 = 0 (sistema libre por ambos extremos) sería ∣K∣=0|K| = 0 y aparecería un mecanismo (movimiento de sólido rígido).