Matemáticas I · Tema 2 · Sección 2.4

Ejercicios resueltos de transpuesta y simetría

4 ejercicios resueltos paso a paso del tema 2 de Matemáticas I (Introducción al álgebra lineal). El enunciado está a la vista y la solución, plegada: intenta cada ejercicio antes de abrirla.

transpuesta
simetría
matriz simétrica
propiedades
operaciones

Practicar en la app Teoría en el manual (p. 45)

Ejercicio 1

Dificultad: Básico

Dada la matriz:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 3 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & 6 \end{pmatrix}$

Calcular:

a) $A^T$

b) $A + A^T$

c) $A - A^T$

d) Verificar que $A + A^T$ es simétrica

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Paso 1
Cálculo de la transpuesta
$A^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 0 & -2 \\ -1 & 4 & 6 \end{pmatrix}$
Paso 2
Cálculo de $A + A^T$
$A + A^T = \begin{pmatrix} 2+2 & 5+3 & -1+1 \\ 3+5 & 0+0 & 4+(-2) \\ 1+(-1) & -2+4 & 6+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 8 & 0 \\ 8 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 12 \end{pmatrix}$
Paso 3
Cálculo de $A - A^T$
$A - A^T = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ -2 & 0 & 6 \\ 2 & -6 & 0 \end{pmatrix}$
Paso 4
Verificación de simetría
Para $A + A^T$ : $(A + A^T)^T = A^T + A = A + A^T$ ✓
La matriz es simétrica porque $a_{ij} = a_{ji}$ para todos los elementos.

Ejercicio 2

Dificultad: Intermedio

Investigar las propiedades de la transpuesta con:

$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ , $Q = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Verificar que:

a) $(P + Q)^T = P^T + Q^T$

b) $(kP)^T = kP^T$ con $k = 3$

c) $(PQ^T)^T = QP^T$ si es posible

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Paso 1
Verificación de $(P + Q)^T = P^T + Q^T$
$P + Q = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 7 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$
$(P + Q)^T = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 5 \\ 1 & 7 & 7 \end{pmatrix}$
$P^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$ , $Q^T = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$
$P^T + Q^T = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 5 \\ 1 & 7 & 7 \end{pmatrix}$ ✓
Paso 2
Verificación de $(kP)^T = kP^T$ con $k = 3$
$3P = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \\ 15 & 18 \end{pmatrix}$
$(3P)^T = \begin{pmatrix} 3 & 9 & 15 \\ 6 & 12 & 18 \end{pmatrix}$
$3P^T = 3 \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 9 & 15 \\ 6 & 12 & 18 \end{pmatrix}$ ✓
Paso 3
Verificación de $(PQ^T)^T = QP^T$
$Q^T = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ (2×3)
$P$ es 3×2 y $Q^T$ es 2×3, así que $PQ^T$ sí está definida y es 3×3:
$PQ^T = \begin{pmatrix} 0 & 10 & 2 \\ 2 & 24 & 4 \\ 4 & 38 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow (PQ^T)^T = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 10 & 24 & 38 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$
$QP^T = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 10 & 24 & 38 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$ ✓
Paso 4
La misma propiedad con el producto 2×2: verificar $(P^TQ)^T = Q^TP$
$P^TQ = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 13 \\ 20 & 16 \end{pmatrix}$
$(P^TQ)^T = \begin{pmatrix} 14 & 20 \\ 13 & 16 \end{pmatrix}$
$Q^TP = \begin{pmatrix} 14 & 20 \\ 13 & 16 \end{pmatrix}$ ✓

Ejercicio 3

Dificultad: Avanzado

Analizar matrices simétricas y antisimétricas. Dada:

$S = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -2 & 5 & 4 \\ 1 & 4 & -1 \end{pmatrix}$

Verificar que:

a) $S$ es simétrica

b) Calcular $S^2$

c) ¿Es $S^2$ simétrica?

d) Propiedades generales

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Paso 1
Verificación de simetría
$S^T = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -2 & 5 & 4 \\ 1 & 4 & -1 \end{pmatrix} = S$ ✓
$s_{12} = s_{21} = -2$ , $s_{13} = s_{31} = 1$ , $s_{23} = s_{32} = 4$
Paso 2
Cálculo de $S^2$
$S^2 = \begin{pmatrix} 9+4+1 & -6-10+4 & 3-8-1 \\ -6-10+4 & 4+25+16 & -2+20-4 \\ 3-8-1 & -2+20-4 & 1+16+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & -12 & -6 \\ -12 & 45 & 14 \\ -6 & 14 & 18 \end{pmatrix}$
Paso 3
Verificación de simetría de $S^2$
$(S^2)^T = \begin{pmatrix} 14 & -12 & -6 \\ -12 & 45 & 14 \\ -6 & 14 & 18 \end{pmatrix} = S^2$ ✓
La matriz $S^2$ es simétrica.
Paso 4
Propiedades generales
- Si $A$ es simétrica, entonces $A^n$ es simétrica para cualquier entero positivo $n$
- $(A^T)^T = A$
- $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ cuando existe la inversa
- Las matrices simétricas tienen propiedades especiales en diagonalización

Ejercicio 4

Dificultad: Experto

En análisis de vibraciones, la matriz de masa $M$ y rigidez $K$ de un sistema son simétricas. Dadas:

$M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ kg, $K = \begin{pmatrix} 100 & -50 & 0 \\ -50 & 150 & -30 \\ 0 & -30 & 80 \end{pmatrix}$ N/m

Analizar:

a) Verificar simetría

b) Calcular $M^{-1}$ aproximadamente

c) Interpretar físicamente la simetría

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Paso 1
Verificación de simetría
$M^T = M$ ✓ ( $m_{23} = m_{32} = 1$ ; no es diagonal, sino diagonal por bloques)
$K^T = K$ ✓ ( $k_{12} = k_{21} = -50$ , $k_{23} = k_{32} = -30$ )
Paso 2
Cálculo de $M^{-1}$ (matriz diagonal por bloques)
Como $M$ es diagonal por bloques, su inversa se obtiene invirtiendo cada bloque: $M^{-1} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.4 & -0.2 \\ 0 & -0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$ $\text{kg}^{-1}$ (el bloque 2×2 se calcula en el paso 3)
Paso 3
Cálculo exacto del bloque 2×2 inferior
Para $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1}$ : $\det = 6-1 = 5$
$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$
Paso 4
Interpretación física
- Simetría en $M$ : reciprocidad de inercias
- Simetría en $K$ : reciprocidad de influencias (principio de Maxwell)
- Las fuerzas de acoplamiento son iguales en ambas direcciones
- Conservación de energía garantizada por la simetría