Ejercicios resueltos de integración por sustitución

Sea $u = x^2 + 5$, entonces $du = 2x dx$, así $3x dx = \frac{3}{2} du$

$\int 3x(x^2 + 5)^4 dx = \int u^4 \cdot \frac{3}{2} du = \frac{3}{2} \int u^4 du$

$= \frac{3}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{3(x^2 + 5)^5}{10} + C$

Sea $u = 4x$, entonces $du = 4dx$, así $dx = \frac{du}{4}$

$\int \sin(4x) dx = \int \sin(u) \cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int \sin(u) du$

$= \frac{1}{4}(-\cos(u)) + C = -\frac{1}{4}\cos(4x) + C$

Sea $u = x^3 + 1$, entonces $du = 3x^2 dx$, así $6x^2 dx = 2du$

$\int \frac{6x^2}{(x^3 + 1)^2} dx = \int \frac{2du}{u^2} = 2 \int u^{-2} du$

$= 2 \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{2}{u} + C = -\frac{2}{x^3 + 1} + C$

Resultados:

a) $\frac{3(x^2 + 5)^5}{10} + C$

b) $-\frac{1}{4}\cos(4x) + C$

c) $-\frac{2}{x^3 + 1} + C$

$\frac{dT}{dt} = -v(t) = -80te^{-t^2}$ (negativo porque es enfriamiento)

$T(t) = \int -80te^{-t^2} dt$

Sea $u = -t^2$, entonces $du = -2t dt$, así $t dt = -\frac{du}{2}$

$T(t) = \int -80 \cdot e^u \cdot (-\frac{du}{2}) = \int 40e^u du = 40e^u + C$

$= 40e^{-t^2} + C$

$T(0) = 500$: $500 = 40e^0 + C = 40 + C$

Por tanto: $C = 460$

$T(t) = 40e^{-t^2} + 460$ °C

Verificación: $\frac{dT}{dt} = 40(-2t)e^{-t^2} = -80te^{-t^2}$ ✓

Interpretación: La temperatura tiende asintóticamente a 460°C conforme $t \to \infty$.

Para $\sqrt{4 - x^2}$, usamos $x = 2\sin\theta$

Entonces: $dx = 2\cos\theta d\theta$ y $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$

Cuando $x = 0$: $\sin\theta = 0 \Rightarrow \theta = 0$

Cuando $x = 2$: $\sin\theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}$

$\int_0^2 x\sqrt{4 - x^2} dx = \int_0^{\pi/2} (2\sin\theta)(2\cos\theta)(2\cos\theta d\theta)$

$= \int_0^{\pi/2} 8\sin\theta\cos^2\theta d\theta$

Sea $u = \cos\theta$, entonces $du = -\sin\theta d\theta$

Cuando $\theta = 0$: $u = 1$; cuando $\theta = \pi/2$: $u = 0$

$= \int_1^0 8u^2(-du) = \int_0^1 8u^2 du = 8[\frac{u^3}{3}]_0^1 = \frac{8}{3}$

Con $u = 4 - x^2$, $du = -2x\,dx$; si $x = 0$, $u = 4$, y si $x = 2$, $u = 0$:

$\int_0^2 x\sqrt{4 - x^2} dx = \frac{1}{2}\int_0^4 \sqrt{u}\,du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_0^4 = \frac{1}{3} \cdot 8 = \frac{8}{3}$ ✓

(Esta segunda sustitución es más directa; la trigonométrica resulta imprescindible cuando falta el factor $x$, como en $\int \sqrt{4 - x^2}\,dx$.)

Si $u = f(x)$, entonces $du = f'(x) dx$

$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{u} du$ (donde $u = f(x)$)

$\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C$

$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$

$\frac{d}{dx}[\ln|f(x)| + C] = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$ ✓

Aplicación: Esta regla es fundamental para integrar funciones de la forma $\frac{g'(x)}{g(x)}$, como $\frac{2x}{x^2 + 1}$, $\frac{\cos x}{\sin x}$, etc.