Ejercicios resueltos de área bajo curvas

La función $y = x^2 + 1$ es siempre positiva (mínimo en $y = 1$), por lo que el área está completamente sobre el eje x.

Área = $\int_{-1}^{2} (x^2 + 1) dx$

$F(x) = \frac{x^3}{3} + x$

Área = $[\frac{x^3}{3} + x]_{-1}^{2}$

$= (\frac{2^3}{3} + 2) - (\frac{(-1)^3}{3} + (-1))$

$= (\frac{8}{3} + 2) - (-\frac{1}{3} - 1)$

$= \frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{3} + 1$

$= \frac{9}{3} + 3 = 3 + 3 = 6$ unidades cuadradas

Interpretación geométrica: La región es una "banda" entre la parábola desplazada hacia arriba y el eje x.

$x^2 = 4x - x^2$

$2x^2 - 4x = 0$

$2x(x - 2) = 0$

Por tanto: $x = 0$ y $x = 2$

Para $x \in (0, 2)$, probemos con $x = 1$:

$y_1 = 1^2 = 1$

$y_2 = 4(1) - 1^2 = 3$

Por tanto, $y_2 = 4x - x^2$ está arriba de $y_1 = x^2$

Área = $\int_0^2 [(4x - x^2) - x^2] dx = \int_0^2 (4x - 2x^2) dx$

$F(x) = 2x^2 - \frac{2x^3}{3}$

Área = $[2x^2 - \frac{2x^3}{3}]_0^2$

$= (2(4) - \frac{2(8)}{3}) - (0)$

$= 8 - \frac{16}{3} = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3}$ unidades cuadradas

Verificación: Las curvas se intersectan en $(0{,}0)$ y $(2{,}4)$, encerrando una región simétrica.

$G'(x) = R'(x) - C'(x) = (100 - 2x) - (20 + x) = 80 - 3x$

Ganancia total = $\int_0^{20} G'(x) dx = \int_0^{20} (80 - 3x) dx$

$G(x) = 80x - \frac{3x^2}{2}$

Ganancia = $[80x - \frac{3x^2}{2}]_0^{20}$

$= (80(20) - \frac{3(400)}{2}) - 0$

$= 1600 - 600 = 1000$ euros

El punto de equilibrio marginal: $80 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{80}{3} \approx 26.67$

Como producimos solo 20 unidades, toda la producción es rentable ($G'(x) > 0$ para $x < 26.67$).

Interpretación: La ganancia total de 1000 euros representa el área bajo la curva de ganancia marginal.

• $\sin(x) \geq 0$ para $x \in [0, \pi]$
• $\sin(x) \leq 0$ para $x \in [\pi, 2\pi]$

Área total = Área en $[0, \pi]$ + Área en $[\pi, 2\pi]$

Área$_1$ = $\int_0^{\pi} \sin(x) dx = [-\cos(x)]_0^{\pi}$

$= -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) + 1 = 2$

Para área, tomamos el valor absoluto:

Área$_2$ = $\int_{\pi}^{2\pi} |\sin(x)| dx = \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin(x)) dx$

$= [\cos(x)]_{\pi}^{2\pi} = \cos(2\pi) - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$

Área total = Área$_1$ + Área$_2$ = 2 + 2 = 4 unidades cuadradas

Interpretación física: La función seno completa dos "arcos" de igual área en un período completo, uno arriba y otro abajo del eje x.