Ejercicios resueltos de integrales definidas

Primitiva: $F(x) = x^2 - 3x$

$\int_1^4 (2x - 3) dx = [x^2 - 3x]_1^4$

$= (4^2 - 3 \cdot 4) - (1^2 - 3 \cdot 1)$

$= (16 - 12) - (1 - 3) = 4 - (-2) = 6$

Primitiva: $F(x) = \sin x$

$\int_0^{\pi/3} \cos x dx = [\sin x]_0^{\pi/3}$

$= \sin(\pi/3) - \sin(0) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Primitiva: $F(x) = 2\ln|x|$

$\int_1^2 \frac{2}{x} dx = [2\ln|x|]_1^2$

$= 2\ln(2) - 2\ln(1) = 2\ln(2) - 0 = 2\ln(2)$

Resultados:

a) $6$

b) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

c) $2\ln(2) \approx 1.386$

El volumen total es la integral de la tasa de flujo:

$V = \int_0^5 Q(t) dt = \int_0^5 (3t^2 + 8t) dt$

$F(t) = \int (3t^2 + 8t) dt = t^3 + 4t^2$

$V = [t^3 + 4t^2]_0^5 = (5^3 + 4 \cdot 5^2) - (0^3 + 4 \cdot 0^2)$

$= (125 + 100) - 0 = 225$ litros

$[Q(t)] = \frac{\text{litros}}{\text{min}}$, $[dt] = \text{min}$

$[V] = \frac{\text{litros}}{\text{min}} \times \text{min} = \text{litros}$ ✓

Interpretación: En 5 minutos entra un total de 225 litros al tanque, con una tasa que se acelera debido al término cuadrático.

$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$

• Para $x \in [-3, -2]$: $f(x) > 0$
• Para $x \in [-2, 2]$: $f(x) < 0$
• Para $x \in [2, 3]$: $f(x) > 0$

Área = $\int_{-3}^{-2} (x^2 - 4) dx + \int_{-2}^{2} |x^2 - 4| dx + \int_2^3 (x^2 - 4) dx$

Como $x^2 - 4 < 0$ en $[-2, 2]$: $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$

Primitiva: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x$

$\int_{-3}^{-2} (x^2 - 4) dx = [\frac{x^3}{3} - 4x]_{-3}^{-2}$

$= (\frac{-8}{3} + 8) - (\frac{-27}{3} + 12) = \frac{16}{3} - 3 = \frac{7}{3}$

$\int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx = [4x - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{2}$

$= (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

$\int_2^3 (x^2 - 4) dx = [\frac{x^3}{3} - 4x]_2^3 = (\frac{27}{3} - 12) - (\frac{8}{3} - 8) = \frac{7}{3}$

Área = $\frac{7}{3} + \frac{32}{3} + \frac{7}{3} = \frac{46}{3}$ unidades cuadradas

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{2i}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{2i}{n} \cdot \frac{1}{n}$

$= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$

donde $f(x) = 2x$, $\Delta x = \frac{1}{n}$, y $x_i = \frac{i}{n}$

• $x_1 = \frac{1}{n} \approx 0$ cuando $n \to \infty$
• $x_n = \frac{n}{n} = 1$
• Por tanto, integramos de $0$ a $1$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{2i}{n^2} = \int_0^1 2x dx$

$\int_0^1 2x dx = [x^2]_0^1 = 1^2 - 0^2 = 1$

Verificación directa de la suma:

$\sum_{i=1}^n \frac{2i}{n^2} = \frac{2}{n^2} \sum_{i=1}^n i = \frac{2}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1$ ✓