Ejercicios resueltos de integración por partes

Elegir: $u = x \Rightarrow du = dx$

$dv = \sin(2x) dx \Rightarrow v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$

Aplicando $\int u dv = uv - \int v du$:

$\int x\sin(2x) dx = x \cdot (-\frac{1}{2}\cos(2x)) - \int (-\frac{1}{2}\cos(2x)) dx$

$= -\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}\int \cos(2x) dx$

$= -\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) + C$

$= -\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

Elegir: $u = x \Rightarrow du = dx$

$dv = e^{3x} dx \Rightarrow v = \frac{1}{3}e^{3x}$

$\int xe^{3x} dx = x \cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x} dx$

$= \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}e^{3x} + C$

$= \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C$

$= \frac{e^{3x}}{9}(3x - 1) + C$

Resultados:

a) $-\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

b) $\frac{e^{3x}}{9}(3x - 1) + C$

$W = \int_0^4 \tau(\theta)\, d\theta = \int_0^4 t^2e^{-t/2} dt$ (escribimos $t$ en lugar de $\theta$ para aligerar la notación: el nombre de la variable de integración no cambia el resultado)

$u = t^2 \Rightarrow du = 2t dt$

$dv = e^{-t/2} dt \Rightarrow v = -2e^{-t/2}$

$\int t^2e^{-t/2} dt = -2t^2e^{-t/2} - \int (-2e^{-t/2})(2t dt)$

$= -2t^2e^{-t/2} + 4\int te^{-t/2} dt$

$u = t \Rightarrow du = dt$

$dv = e^{-t/2} dt \Rightarrow v = -2e^{-t/2}$

$\int te^{-t/2} dt = -2te^{-t/2} - \int (-2e^{-t/2}) dt$

$= -2te^{-t/2} - 4e^{-t/2}$

$\int t^2e^{-t/2} dt = -2t^2e^{-t/2} + 4(-2te^{-t/2} - 4e^{-t/2})$

$= -2t^2e^{-t/2} - 8te^{-t/2} - 16e^{-t/2}$

$= -2e^{-t/2}(t^2 + 4t + 8)$

$W = [-2e^{-t/2}(t^2 + 4t + 8)]_0^4$

$= -2e^{-2}(16 + 16 + 8) - (-2e^0(0 + 0 + 8))$

$= -80e^{-2} + 16 = 16 - 80e^{-2}$

$\approx 16 - 10{,}83 = 5{,}17$ J (1 N·m·rad = 1 J)

Interpretación: El trabajo total es positivo, indicando una transferencia neta de energía rotacional.

Para integrales con logaritmos, generalmente $u = \ln(x)$:

$u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx$

$dv = x^3 dx \Rightarrow v = \frac{x^4}{4}$

$\int x^3\ln(x) dx = \ln(x) \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} dx$

$= \frac{x^4\ln(x)}{4} - \int \frac{x^3}{4} dx$

$\int \frac{x^3}{4} dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{16}$

$\int x^3\ln(x) dx = \frac{x^4\ln(x)}{4} - \frac{x^4}{16} + C$

$= \frac{x^4}{16}(4\ln(x) - 1) + C$

Verificación por derivación:

$\frac{d}{dx}[\frac{x^4}{16}(4\ln(x) - 1)] = \frac{1}{16}[4x^3(4\ln(x) - 1) + x^4 \cdot \frac{4}{x}]$

$= \frac{1}{16}[16x^3\ln(x) - 4x^3 + 4x^3] = x^3\ln(x)$ ✓

$u = e^x \Rightarrow du = e^x dx$

$dv = \cos(x) dx \Rightarrow v = \sin(x)$

$\int e^x\cos(x) dx = e^x\sin(x) - \int e^x\sin(x) dx$

$u = e^x \Rightarrow du = e^x dx$

$dv = \sin(x) dx \Rightarrow v = -\cos(x)$

$\int e^x\sin(x) dx = -e^x\cos(x) - \int (-e^x\cos(x)) dx$

$= -e^x\cos(x) + \int e^x\cos(x) dx$

$\int e^x\cos(x) dx = e^x\sin(x) - [-e^x\cos(x) + \int e^x\cos(x) dx]$

$= e^x\sin(x) + e^x\cos(x) - \int e^x\cos(x) dx$

$\int e^x\cos(x) dx + \int e^x\cos(x) dx = e^x\sin(x) + e^x\cos(x)$

$2\int e^x\cos(x) dx = e^x(\sin(x) + \cos(x))$

$\int e^x\cos(x) dx = \frac{e^x(\sin(x) + \cos(x))}{2} + C$

Verificación: La derivada de $\frac{e^x(\sin(x) + \cos(x))}{2}$ es efectivamente $e^x\cos(x)$.