Ejercicios resueltos de base y dimensión

$c_1(2{,}1{,}0) + c_2(1{,}0{,}1) + c_3(0{,}2{,}1) = (0{,}0{,}0)$

Sistema: $$\begin{cases} 2c_1 + c_2 = 0 \\ c_1 + 2c_3 = 0 \\ c_2 + c_3 = 0 \end{cases}$$

Matriz aumentada: $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Por tanto: $c_1 = c_2 = c_3 = 0$

Conclusión: Como el sistema homogéneo solo tiene la solución trivial, los vectores son linealmente independientes y forman una base de $\mathbb{R}^3$.

$c_1(1{,}2{,}1{,}0) + c_2(2{,}1{,}0{,}1) = (0{,}0{,}0{,}0)$

Sistema: $(c_1+2c_2, 2c_1+c_2, c_1, c_2) = (0{,}0{,}0{,}0)$

De la tercera componente: $c_1 = 0$

De la cuarta componente: $c_2 = 0$

Por tanto los vectores son linealmente independientes.

$\dim(W) = 2$

Agregamos vectores de la base canónica: $\{(1{,}2{,}1{,}0), (2{,}1{,}0{,}1), (1{,}0{,}0{,}0), (0{,}1{,}0{,}0)\}$

Verificación: Los 4 vectores son linealmente independientes, formando una base de $\mathbb{R}^4$.

Un polinomio $p(x) = ax^2 + bx + c \in V$ debe satisfacer:

$p(1) = a + b + c = 0$, entonces $c = -a - b$

$p(x) = ax^2 + bx + (-a-b) = a(x^2-1) + b(x-1)$

$V = \text{span}\{x^2-1, x-1\}$

$\alpha(x^2-1) + \beta(x-1) = 0$ para todo $x$

$\alpha x^2 + \beta x - \alpha - \beta = 0$

Coeficientes: $\alpha = 0$, $\beta = 0$, $-\alpha - \beta = 0$

Solo solución trivial: $\alpha = \beta = 0$

Conclusión: Base de $V$: $\{x^2-1, x-1\}$, $\dim(V) = 2$

Sea $B = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ base de $V$ y $S = \{u_1, u_2, \ldots, u_{n+1}\}$ un conjunto de $n+1$ vectores en $V$.

Como $B$ es base, cada $u_i$ se puede escribir únicamente como:

$u_j = \sum_{i=1}^n a_{ij}v_i$ para $j = 1, 2, \ldots, n+1$

Buscamos escalares $c_1, c_2, \ldots, c_{n+1}$ no todos nulos tal que:

$\sum_{j=1}^{n+1} c_j u_j = 0$

$\sum_{j=1}^{n+1} c_j \left(\sum_{i=1}^n a_{ij}v_i\right) = 0$

$\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^{n+1} a_{ij}c_j\right) v_i = 0$

Como $\{v_1, \ldots, v_n\}$ es base, cada coeficiente debe ser cero:

$\sum_{j=1}^{n+1} a_{ij}c_j = 0$ para $i = 1, 2, \ldots, n$

Tenemos un sistema de $n$ ecuaciones con $n+1$ incógnitas $(c_1, \ldots, c_{n+1})$. Por álgebra lineal, este sistema tiene solución no trivial.

Conclusión: Existe al menos una solución no trivial, por tanto $S$ es linealmente dependiente.