Ejercicios resueltos de coordenadas en base alternativa

Buscamos $c_1, c_2, c_3$ tales que:

$c_1(1{,}1{,}0) + c_2(0{,}1{,}1) + c_3(1{,}0{,}1) = (3{,}5{,}2)$

$$\begin{cases} c_1 + c_3 = 3 \\ c_1 + c_2 = 5 \\ c_2 + c_3 = 2 \end{cases}$$

Matriz aumentada: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Solución: Las coordenadas de $\vec{v}$ en base $B$ son $[3, 2, 0]_B$ (comprobación: $3(1{,}1{,}0) + 2(0{,}1{,}1) + 0(1{,}0{,}1) = (3{,}5{,}2)$ ✓)

$\vec{v} = 2(1{,}2) + 1(3{,}1) = (2{,}4) + (3{,}1) = (5{,}5)$

Buscamos $a, b$ tales que:

$a(2{,}1) + b(1{,}3) = (5{,}5)$

$$\begin{cases} 2a + b = 5 \\ a + 3b = 5 \end{cases}$$

De la primera ecuación: $b = 5 - 2a$

Sustituyendo: $a + 3(5-2a) = 5$

$a + 15 - 6a = 5$

$-5a = -10$, entonces $a = 2$

Por tanto: $b = 5 - 2(2) = 1$

Solución: $[\vec{v}]_{B'} = [2, 1]_{B'}$

Buscamos $a, b, c$ tales que:

$p(x) = a(1) + b(1+x) + c(1+x+x^2)$

$3 + 2x - x^2 = a + b(1+x) + c(1+x+x^2)$

$3 + 2x - x^2 = a + b + c + (b+c)x + cx^2$

$$\begin{cases} a + b + c = 3 \quad \text{(término constante)} \\ b + c = 2 \quad \text{(coeficiente de } x\text{)} \\ c = -1 \quad \text{(coeficiente de } x^2\text{)} \end{cases}$$

$c = -1$

$b = 2 - c = 2 - (-1) = 3$

$a = 3 - b - c = 3 - 3 - (-1) = 1$

Solución: $[p(x)]_{B'} = [1, 3, -1]_{B'}$

Sea $P$ la matriz de cambio de base de $B$ a $B'$

Sea $Q$ la matriz de cambio de base de $B'$ a $B$

Las columnas de $P$ son las coordenadas de los vectores de $B$ expresados en base $B'$

Las columnas de $Q$ son las coordenadas de los vectores de $B'$ expresados en base $B$

Si un vector tiene coordenadas $[\vec{v}]_B$ en base $B$:

• Sus coordenadas en $B'$ son: $[\vec{v}]_{B'} = P[\vec{v}]_B$
• Aplicando $Q$: $Q[\vec{v}]_{B'} = QP[\vec{v}]_B$

Como transformamos de $B$ a $B'$ y luego de $B'$ a $B$, volvemos al punto original:

$QP[\vec{v}]_B = [\vec{v}]_B$ para todo $\vec{v}$

Por tanto: $QP = I$

Similarmente: $PQ = I$

Conclusión: $Q = P^{-1}$, es decir, las matrices de cambio de base en direcciones opuestas son inversas entre sí.