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Matemáticas I · Tema 5 · Sección 5.4

Ejercicios resueltos de cálculo de matriz inversa

4 ejercicios resueltos paso a paso del tema 5 de Matemáticas I (Bases, dimensión y transformaciones). El enunciado está a la vista y la solución, plegada: intenta cada ejercicio antes de abrirla.

  • matriz inversa
  • cálculo
  • método de Gauss
  • determinante
  • invertibilidad
Practicar en la appTeoría en el manual (p. 109)

Ejercicio 1

Dificultad: Básico

Calcular la inversa de A=(3152)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} usando el método de Gauss-Jordan.

Ver solución paso a paso4 pasos
  1. Paso 1
    Formar la matriz aumentada (A∣I)(A|I)

    (31∣1052∣01)\begin{pmatrix} 3 & 1 & | & 1 & 0 \\ 5 & 2 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}

  2. Paso 2
    Aplicar operaciones de fila

    R2←R2−53R1R_2 \leftarrow R_2 - \frac{5}{3}R_1:

    (31∣10013∣−531)\begin{pmatrix} 3 & 1 & | & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & | & -\frac{5}{3} & 1 \end{pmatrix}

  3. Paso 3
    Continuar las operaciones

    R2←3R2R_2 \leftarrow 3R_2:

    (31∣1001∣−53)\begin{pmatrix} 3 & 1 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & -5 & 3 \end{pmatrix}

    R1←R1−R2R_1 \leftarrow R_1 - R_2:

    (30∣6−301∣−53)\begin{pmatrix} 3 & 0 & | & 6 & -3 \\ 0 & 1 & | & -5 & 3 \end{pmatrix}

    R1←13R1R_1 \leftarrow \frac{1}{3}R_1:

    (10∣2−101∣−53)\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 2 & -1 \\ 0 & 1 & | & -5 & 3 \end{pmatrix}

  4. Paso 4
    Leer la inversa

    A−1=(2−1−53)A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}

    Verificación: AA−1=(3152)(2−1−53)=(1001)AA^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ✓

Ejercicio 2

Dificultad: Intermedio

Calcular la inversa de la matriz B=(102021110)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} y verificar el resultado.

Ver solución paso a paso7 pasos
  1. Paso 1
    Formar (B∣I)(B|I)

    (102∣100021∣010110∣001)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

  2. Paso 2
    Eliminar bajo el pivote de la primera columna

    R3←R3−R1R_3 \leftarrow R_3 - R_1:

    (102∣100021∣01001−2∣−101)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

  3. Paso 3
    Normalizar la segunda fila

    R2←12R2R_2 \leftarrow \frac{1}{2}R_2:

    (102∣1000112∣012001−2∣−101)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & | & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -2 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

  4. Paso 4
    Eliminar en la segunda columna

    R3←R3−R2R_3 \leftarrow R_3 - R_2:

    (102∣1000112∣012000−52∣−1−121)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & | & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{5}{2} & | & -1 & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}

  5. Paso 5
    Normalizar la tercera fila

    R3←−25R3R_3 \leftarrow -\frac{2}{5}R_3:

    (102∣1000112∣0120001∣2515−25)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & | & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \end{pmatrix}

  6. Paso 6
    Eliminar arriba del pivote de la tercera columna

    R1←R1−2R3R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3 y R2←R2−12R3R_2 \leftarrow R_2 - \frac{1}{2}R_3:

    (100∣15−2545010∣−152515001∣2515−25)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \end{pmatrix}

  7. Paso 7
    Resultado

    B−1=(15−2545−1525152515−25)B^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \end{pmatrix}

    Verificación: BB−1=I3BB^{-1} = I_3 ✓

Ejercicio 3

Dificultad: Avanzado

Demostrar que si AA y BB son matrices invertibles del mismo tamaño, entonces (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.

Ver solución paso a paso5 pasos
  1. Paso 1
    Establecer las hipótesis

    Sean AA y BB matrices n×nn \times n invertibles, entonces existen A−1A^{-1} y B−1B^{-1} tales que:

    AA−1=A−1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I y BB−1=B−1B=IBB^{-1} = B^{-1}B = I

  2. Paso 2
    Demostrar que ABAB es invertible

    Como AA y BB son invertibles: det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0 y det⁡(B)≠0\det(B) \neq 0

    Por tanto: det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)≠0\det(AB) = \det(A)\det(B) \neq 0

    Luego ABAB es invertible.

  3. Paso 3
    Verificar que B−1A−1B^{-1}A^{-1} es la inversa de ABAB

    Calculamos el producto (AB)(B−1A−1)(AB)(B^{-1}A^{-1}):

    (AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AIA−1=AA−1=I(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I

  4. Paso 4
    Verificar en el orden opuesto

    Calculamos (B−1A−1)(AB)(B^{-1}A^{-1})(AB):

    (B−1A−1)(AB)=B−1(A−1A)B=B−1IB=B−1B=I(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}IB = B^{-1}B = I

  5. Paso 5
    Aplicar unicidad de la inversa

    Como (AB)(B−1A−1)=(B−1A−1)(AB)=I(AB)(B^{-1}A^{-1}) = (B^{-1}A^{-1})(AB) = I, y la inversa es única cuando existe, concluimos:

    Resultado: (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

Ejercicio 4

Dificultad: Experto

Sea A=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} una matriz de rotación. Demostrar que A−1=ATA^{-1} = A^T y calcular A−1A^{-1} explícitamente.

Ver solución paso a paso5 pasos
  1. Paso 1
    Calcular ATA^T

    AT=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)A^T = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

  2. Paso 2
    Verificar que AAT=IAA^T = I

    AAT=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)AA^T = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

  3. Paso 3
    Calcular el producto

    Elemento (1,1): cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

    Elemento (1,2): cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ=0\cos\theta\sin\theta - \sin\theta\cos\theta = 0

    Elemento (2,1): sin⁡θcos⁡θ−cos⁡θsin⁡θ=0\sin\theta\cos\theta - \cos\theta\sin\theta = 0

    Elemento (2,2): sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

    Por tanto: AAT=(1001)=IAA^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

  4. Paso 4
    Verificar que ATA=IA^TA = I

    ATA=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)A^TA = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

    Calculando: ATA=(1001)=IA^TA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

  5. Paso 5
    Conclusión

    Como AAT=ATA=IAA^T = A^TA = I, tenemos que A−1=ATA^{-1} = A^T

    Resultado explícito:

    A−1=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)A^{-1} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

    Interpretación geométrica: La inversa de una rotación por ángulo θ\theta es una rotación por ángulo −θ-\theta.