Ejercicios resueltos de geometría analítica

Vector director: $\vec{d} = \vec{PQ} = Q - P = (4, 3, 2) - (2, 1, -1) = (2, 2, 3)$

Ecuación vectorial: $\vec{r}(t) = \vec{P} + t\vec{d} = (2, 1, -1) + t(2, 2, 3)$

$\vec{r}(t) = (2, 1, -1) + t(2, 2, 3)$

$\vec{r}(t) = (2 + 2t, 1 + 2t, -1 + 3t)$

Ecuaciones paramétricas:

$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 1 + 2t \\ z = -1 + 3t \end{cases}$

Despejamos $t$ de cada ecuación:

$t = \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{3}$

Ecuación simétrica: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{3}$

Sustituimos en la ecuación simétrica:

$\frac{6 - 2}{2} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{5 + 1}{3}$

$2 = 2 = 2$ (los dos primeros cocientes)

Pero $\frac{6}{3} = 2$, así que el punto $R$ sí pertenece a la recta.

Verificación con parámetro: si $t = 2$:

$\vec{r}(2) = (2, 1, -1) + 2(2, 2, 3) = (2, 1, -1) + (4, 4, 6) = (6, 5, 5) = R$ ✓

Ecuación general: $\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A}) = 0$

$(2, -1, 4) \cdot ((x, y, z) - (1, 2, 3)) = 0$

$(2, -1, 4) \cdot (x-1, y-2, z-3) = 0$

$2(x-1) - 1(y-2) + 4(z-3) = 0$

$2x - 2 - y + 2 + 4z - 12 = 0$

Ecuación del plano: $2x - y + 4z - 12 = 0$

Vectores en el plano: $\vec{BC} = (3{,}1{,}1) - (1{,}0{,}2) = (2{,}1,-1)$

$\vec{BD} = (2{,}2{,}3) - (1{,}0{,}2) = (1{,}2{,}1)$

Vector normal: $\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD} = (2{,}1,-1) \times (1{,}2{,}1)$

$= (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2, (-1) \cdot 1 - 2 \cdot 1, 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (3, -3, 3) = 3(1, -1, 1)$

Usando $\vec{n} = (1, -1, 1)$ y punto $B(1, 0, 2)$:

$(1, -1, 1) \cdot ((x, y, z) - (1, 0, 2)) = 0$

$(x-1) - (y-0) + (z-2) = 0$

Ecuación del plano: $x - y + z - 3 = 0$

La recta tiene punto $P(1, -1, 0)$ y dirección $\vec{d} = (2, 1, 3)$.

Vectores en el plano: $\vec{d} = (2, 1, 3)$ y $\vec{PE} = (0, 1, 2) - (1, -1, 0) = (-1, 2, 2)$

Vector normal: $\vec{n} = \vec{d} \times \vec{PE} = (2, 1, 3) \times (-1, 2, 2)$

$= (1 \cdot 2 - 3 \cdot 2, 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 2, 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = (-4, -7, 5)$

Usando punto $E(0, 1, 2)$:

$(-4, -7, 5) \cdot ((x, y, z) - (0, 1, 2)) = 0$

$-4x - 7(y-1) + 5(z-2) = 0$

Ecuación del plano: $-4x - 7y + 5z - 3 = 0$ o $4x + 7y - 5z + 3 = 0$

Si el plano es perpendicular a $3x - 2y + z = 5$, su normal es perpendicular a $(3, -2, 1)$.

El plano también contiene la recta con dirección $(2, 1, 3)$.

Por tanto, la normal buscada es perpendicular a la vez a $(3, -2, 1)$ y a $(2, 1, 3)$:

$\vec{n} = (3, -2, 1) \times (2, 1, 3) = ((-2)(3) - (1)(1),\ (1)(2) - (3)(3),\ (3)(1) - (-2)(2)) = (-7, -7, 7) = -7(1, 1, -1)$

Usando punto de la recta $P(1, -1, 0)$ y $\vec{n} = (1, 1, -1)$:

Ecuación: $1(x-1) + 1(y+1) - 1(z-0) = 0$

$x - 1 + y + 1 - z = 0$

$x + y - z = 0$

Comprobación: $(1, 1, -1) \cdot (3, -2, 1) = 0$ ✓ y $(1, 1, -1) \cdot (2, 1, 3) = 0$ ✓

La recta pasa por $A(1, -2, 3)$ con dirección $\vec{d} = (2, -1, 2)$.

$\vec{AP} = P - A = (2, 1, 4) - (1, -2, 3) = (1, 3, 1)$

$\vec{AP} \times \vec{d} = (1, 3, 1) \times (2, -1, 2) = (3 \cdot 2 - 1 \cdot (-1), 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2, 1 \cdot (-1) - 3 \cdot 2) = (7, 0, -7)$

$|\vec{AP} \times \vec{d}| = \sqrt{49 + 0 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$

$|\vec{d}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$

Distancia: $d = \frac{7\sqrt{2}}{3}$

Fórmula: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Para $Q(3, -1, 2)$ y plano $2x - 3y + z - 6 = 0$:

$d = \frac{|2(3) - 3(-1) + 1(2) - 6|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{|6 + 3 + 2 - 6|}{\sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{14}} = \frac{5\sqrt{14}}{14}$

$L_1$ pasa por $A_1(0, 1, -1)$ con dirección $\vec{d_1} = (1, 2, -1)$

$L_2$ pasa por $A_2(1, 0, 2)$ con dirección $\vec{d_2} = (2, 1, 3)$

$\vec{A_1A_2} = (1, 0, 2) - (0, 1, -1) = (1, -1, 3)$

$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (1, 2, -1) \times (2, 1, 3) = (7, -5, -3)$

$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{49 + 25 + 9} = \sqrt{83}$

Distancia: $d = \frac{|\vec{A_1A_2} \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})|}{|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|} = \frac{|(1, -1, 3) \cdot (7, -5, -3)|}{\sqrt{83}} = \frac{|7 + 5 - 9|}{\sqrt{83}} = \frac{3}{\sqrt{83}}$

Los planos $x + 2y - z + 3 = 0$ y $x + 2y - z - 1 = 0$ tienen el mismo vector normal $(1, 2, -1)$.

Distancia: $d = \frac{|3 - (-1)|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

$\pi_1: x + 2y - z = 3$, vectores normal $\vec{n_1} = (1, 2, -1)$

$\pi_2: 2x + 4y - 2z = 5$, vector normal $\vec{n_2} = (2, 4, -2) = 2(1, 2, -1) = 2\vec{n_1}$

Los vectores normales son paralelos, por tanto los planos son paralelos o coincidentes.

Para verificar si son coincidentes: $\pi_2$ puede escribirse como $x + 2y - z = \frac{5}{2}$

Como $3 \neq \frac{5}{2}$, los planos son paralelos y distintos.

$L_1$ pasa por $P_1(1, 0, -1)$ con dirección $\vec{d_1} = (2, 1, 3)$

$L_2$ pasa por $P_2(-1, 2, 5)$ con dirección $\vec{d_2} = (4, 2, 6) = 2(2, 1, 3) = 2\vec{d_1}$

Las direcciones son paralelas. Verificamos si $P_2$ está en $L_1$:

$P_2 = P_1 + t\vec{d_1} \Rightarrow (-1, 2, 5) = (1, 0, -1) + t(2, 1, 3)$

$(-2, 2, 6) = t(2, 1, 3)$

De la primera componente: $t = -1$

Verificando: $(-1)(2, 1, 3) = (-2, -1, -3) \neq (-2, 2, 6)$

Las rectas son paralelas y distintas.

$L: (x, y, z) = (1, 2, 0) + t(1, -1, 2)$, dirección $\vec{d} = (1, -1, 2)$

$\pi: x - y + 2z = 1$, normal $\vec{n} = (1, -1, 2)$

Observamos que $\vec{d} = \vec{n}$, por tanto la recta es perpendicular al plano.

Verificamos si se intersectan sustituyendo la recta en el plano:

$(1 + t) - (2 - t) + 2(0 + 2t) = 1$

$1 + t - 2 + t + 4t = 1$

$6t - 1 = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{3}$

Punto de intersección: $(1, 2, 0) + \frac{1}{3}(1, -1, 2) = (\frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{2}{3})$

La recta es perpendicular al plano e interseca en un punto.

$\alpha: 2x - y + 3z = 4$

$\beta: x + y - z = 2$

$\gamma: 3x - 2z = 2$

Formamos el sistema aumentado:

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & | & 4 \\ 1 & 1 & -1 & | & 2 \\ 3 & 0 & -2 & | & 2 \end{pmatrix}$

Reduciendo por filas:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & -3 & 5 & | & 0 \\ 0 & -3 & 1 & | & -4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & -3 & 5 & | & 0 \\ 0 & 0 & -4 & | & -4 \end{pmatrix}$

Sistema compatible determinado con solución única: $z = 1$, $y = \frac{5}{3}$, $x = \frac{4}{3}$

Los tres planos se intersectan en un punto.