Ejercicios resueltos de ortogonalidad de funciones

$(f_1, f_2) = \int_0^{2\pi} \sin(x)\cos(x) dx$

$(f_1, f_2) = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \sin(2x) dx$

$= \frac{1}{2}\left[-\frac{\cos(2x)}{2}\right]_0^{2\pi} = -\frac{1}{4}[\cos(4\pi) - \cos(0)]$

$= -\frac{1}{4}[1 - 1] = 0$ $\checkmark$

Las funciones $\sin(x)$ y $\cos(x)$ son ortogonales en $[0, 2\pi]$.

$\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\sin(mx) dx$

Usando la identidad $\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$:

$= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi [\sin((n+m)x) - \sin((n-m)x)] dx$

Para cualquier $k \neq 0$: $\int_{-\pi}^\pi \sin(kx) dx = \left[-\frac{\cos(kx)}{k}\right]_{-\pi}^\pi = 0$

Por lo tanto: $\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\sin(mx) dx = 0$ $\checkmark$

Para $n \neq m$:

$\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\cos(mx) dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi [\cos((n+m)x) + \cos((n-m)x)] dx = 0$ $\checkmark$

Para $n \neq m$:

$\int_{-\pi}^\pi \sin(nx)\sin(mx) dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi [\cos((n-m)x) - \cos((n+m)x)] dx = 0$ $\checkmark$

Por último, $\int_{-\pi}^\pi 1\cdot\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_{-\pi}^\pi = 0$ y $\int_{-\pi}^\pi 1\cdot\sin(mx)\,dx = 0$ (integrando impar), de modo que la función constante también es ortogonal a las demás. El conjunto es, por tanto, ortogonal en $[-\pi, \pi]$. (Que además sea completo es un resultado más profundo, que aquí no se demuestra.)

$\|\phi_0\|^2 = \int_{-\pi}^\pi 1^2 dx = 2\pi$

$\|\phi_0\| = \sqrt{2\pi}$

$\|\phi_n\|^2 = \int_{-\pi}^\pi \cos^2(nx) dx$

Usando $\cos^2(nx) = \frac{1 + \cos(2nx)}{2}$:

$\|\phi_n\|^2 = \int_{-\pi}^\pi \frac{1 + \cos(2nx)}{2} dx = \frac{1}{2}[2\pi + 0] = \pi$

$\|\phi_n\| = \sqrt{\pi}$

$\|\psi_n\|^2 = \int_{-\pi}^\pi \sin^2(nx) dx = \pi$ (similar al paso anterior)

$\|\psi_n\| = \sqrt{\pi}$

$\hat{\phi}_0(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$

$\hat{\phi}_n(x) = \frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}$ para $n \geq 1$

$\hat{\psi}_n(x) = \frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}$ para $n \geq 1$

$(\hat{\phi}_i, \hat{\phi}_j) = \delta_{ij}$ donde $\delta_{ij}$ es la delta de Kronecker.

Sea $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n u_n(x)$ donde $\{u_n(x)\}$ es ortogonal.

$(f, u_m) = \left(\sum_{n=0}^{\infty} c_n u_n(x), u_m(x)\right)$

$(f, u_m) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (u_n, u_m)$

$(u_n, u_m) = \begin{cases} 0 & \text{si } n \neq m \\ \|u_m\|^2 & \text{si } n = m \end{cases}$

$(f, u_m) = c_m \|u_m\|^2 = c_m (u_m, u_m)$

$c_m = \frac{(f, u_m)}{(u_m, u_m)}$

Esta es la fórmula generalizada para los coeficientes de Fourier en cualquier base ortogonal, extendiendo el resultado clásico a espacios de funciones generales.