Ejercicios resueltos de diferencias finitas

$f'(x) = e^x$, por lo tanto $f'(2) = e^2 \approx 7.389056$

$f'(2) \approx \frac{f(2.1) - f(2)}{0.1} = \frac{e^{2.1} - e^2}{0.1}$

$= \frac{8.1662 - 7.3891}{0.1} = 7.7710$

$f'(2) \approx \frac{f(2) - f(1.9)}{0.1} = \frac{e^2 - e^{1.9}}{0.1}$

$= \frac{7.3891 - 6.6859}{0.1} = 7.0320$

$f'(2) \approx \frac{f(2.1) - f(1.9)}{0.2} = \frac{e^{2.1} - e^{1.9}}{0.2}$

$= \frac{8.1662 - 6.6859}{0.2} = 7.4015$

• Error hacia adelante: $|7.7710 - 7.3891| = 0.3819$
• Error hacia atrás: $|7.0320 - 7.3891| = 0.3571$
• Error centrado: $|7.4015 - 7.3891| = 0.0124$

La diferencia centrada proporciona la mejor aproximación con error de orden $O(h^2)$ comparado con $O(h)$ de las otras.

$g''(x) \approx \frac{g(x+h) - 2g(x) + g(x-h)}{h^2}$

$x = \pi/2 \approx 1.5708$, $h = 0.05$

• $g(\pi/2 + 0.05) = \sin(1.6208) \approx 0.99875026$
• $g(\pi/2) = \sin(\pi/2) = 1.00000000$
• $g(\pi/2 - 0.05) = \sin(1.5208) \approx 0.99875026$

$g''(\pi/2) \approx \frac{0.99875026 - 2(1.00000000) + 0.99875026}{(0.05)^2}$

$= \frac{-0.00249948}{0.0025} \approx -0.999792$

(Hay que trabajar con muchos decimales: si se redondea a 4 decimales, el numerador queda en $-0.0024$ y se obtiene $-0.96$, un error debido solo al redondeo.)

$g''(x) = -\sin(x)$, por lo tanto $g''(\pi/2) = -\sin(\pi/2) = -1.0000$

Error absoluto = $|-0.999792 - (-1.0000)| \approx 2.1 \times 10^{-4}$

Error relativo $\approx 0.021\%$

El error de truncamiento para diferencias centradas de segunda derivada es $O(h^2)$.

Para $h = 0.05$: el error teórico es $\frac{h^2}{12}|g^{(4)}(\pi/2)| = \frac{0.0025}{12} \approx 2.08 \times 10^{-4}$, que coincide con el error observado.

$\Delta x = 0.25$, puntos: $x_0 = 0$, $x_1 = 0.25$, $x_2 = 0.5$, $x_3 = 0.75$, $x_4 = 1$

$\frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{(\Delta x)^2} - 4u_i = -x_i^2$

$\frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{0.0625} - 4u_i = -x_i^2$

$16(u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}) - 4u_i = -x_i^2$

$16u_{i+1} - 36u_i + 16u_{i-1} = -x_i^2$

Para $i = 1$ ($x_1 = 0.25$):

$16u_2 - 36u_1 + 16u_0 = -(0.25)^2 = -0.0625$

$16u_2 - 36u_1 + 16(1) = -0.0625$

$16u_2 - 36u_1 = -16.0625$

Para $i = 2$ ($x_2 = 0.5$):

$16u_3 - 36u_2 + 16u_1 = -(0.5)^2 = -0.25$

Para $i = 3$ ($x_3 = 0.75$):

$16u_4 - 36u_3 + 16u_2 = -(0.75)^2 = -0.5625$

$16(2) - 36u_3 + 16u_2 = -0.5625$

$16u_2 - 36u_3 = -32.5625$

$\begin{pmatrix} -36 & 16 & 0 \\ 16 & -36 & 16 \\ 0 & 16 & -36 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -16.0625 \\ -0.25 \\ -32.5625 \end{pmatrix}$

Consideramos una perturbación de la forma $u_j^n = G^n e^{i\beta j \Delta x}$ donde $G$ es el factor de amplificación y $\beta$ el número de onda.

$G^{n+1} e^{i\beta j \Delta x} = (1-2r)G^n e^{i\beta j \Delta x} + rG^n e^{i\beta (j+1) \Delta x} + rG^n e^{i\beta (j-1) \Delta x}$

$G = (1-2r) + r e^{i\beta \Delta x} + r e^{-i\beta \Delta x}$

$G = (1-2r) + 2r\cos(\beta \Delta x)$

$G = 1 - 2r(1 - \cos(\beta \Delta x))$

$G = 1 - 4r\sin^2\left(\frac{\beta \Delta x}{2}\right)$

Para estabilidad: $|G| \leq 1$

Como $\sin^2\left(\frac{\beta \Delta x}{2}\right) \geq 0$, tenemos $G \leq 1$.

Para $G \geq -1$:

$1 - 4r\sin^2\left(\frac{\beta \Delta x}{2}\right) \geq -1$

$4r\sin^2\left(\frac{\beta \Delta x}{2}\right) \leq 2$

El caso más restrictivo es $\sin^2\left(\frac{\beta \Delta x}{2}\right) = 1$:

$4r \leq 2$, por lo tanto $r \leq \frac{1}{2}$

El esquema es estable si y solo si $r = \frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2} \leq \frac{1}{2}$, conocida como la condición CFL para la ecuación del calor.