Ejercicios resueltos de ecuación del calor

$\lambda = \frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2} = \frac{2 \times 0.005}{(0.2)^2} = \frac{0.01}{0.04} = 0.25 < 0.5$ $\checkmark$

Puntos: $x_0 = 0$, $x_1 = 0.2$, $x_2 = 0.4$, $x_3 = 0.6$, $x_4 = 0.8$, $x_5 = 1$

• $u_0^0 = 50$ (frontera), $u_5^0 = 80$ (frontera)
• $u_1^0 = u_2^0 = u_3^0 = u_4^0 = 60$ (condición inicial)

$u_i^{n+1} = u_i^n + \lambda(u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n)$

Para $i = 1$:

$u_1^1 = 60 + 0.25(50 - 2 \times 60 + 60) = 60 + 0.25(-10) = 57.5$

Para $i = 2$:

$u_2^1 = 60 + 0.25(60 - 2 \times 60 + 60) = 60 + 0.25(0) = 60.0$

Para $i = 3$:

$u_3^1 = 60 + 0.25(60 - 2 \times 60 + 60) = 60 + 0.25(0) = 60.0$

Para $i = 4$:

$u_4^1 = 60 + 0.25(80 - 2 \times 60 + 60) = 60 + 0.25(20) = 65.0$

En $t = 0.005$: $u = [50, 57.5, 60.0, 60.0, 65.0, 80]$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1,j}^n - 2u_{i,j}^n + u_{i-1,j}^n}{(\Delta x)^2}$

$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \approx \frac{u_{i,j+1}^n - 2u_{i,j}^n + u_{i,j-1}^n}{(\Delta y)^2}$

$\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_{i,j}^{n+1} - u_{i,j}^n}{\Delta t}$

$\frac{u_{i,j}^{n+1} - u_{i,j}^n}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i+1,j}^n + u_{i-1,j}^n + u_{i,j+1}^n + u_{i,j-1}^n - 4u_{i,j}^n}{h^2}$

$u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^n + \lambda(u_{i+1,j}^n + u_{i-1,j}^n + u_{i,j+1}^n + u_{i,j-1}^n - 4u_{i,j}^n)$

donde $\lambda = \frac{\alpha \Delta t}{h^2}$

Proponemos $u_{i,j}^n = G^n e^{i(\beta_1 i h + \beta_2 j h)}$

$G = 1 + \lambda[e^{i\beta_1 h} + e^{-i\beta_1 h} + e^{i\beta_2 h} + e^{-i\beta_2 h} - 4]$

$G = 1 + 2\lambda[\cos(\beta_1 h) + \cos(\beta_2 h) - 2]$

$G = 1 - 2\lambda[2 - \cos(\beta_1 h) - \cos(\beta_2 h)]$

Para $|G| \leq 1$, el caso más restrictivo es cuando $\cos(\beta_1 h) = \cos(\beta_2 h) = -1$:

$G = 1 - 2\lambda \times 4 = 1 - 8\lambda$

Para estabilidad: $1 - 8\lambda \geq -1 \Rightarrow \lambda \leq \frac{1}{4}$

La condición de estabilidad para la ecuación del calor 2D es: $\lambda = \frac{\alpha \Delta t}{h^2} \leq \frac{1}{4}$.

Propongo $u(x,t) = A(t)\sin(\pi x)$

Sustituyendo en la EDP:

$A'(t)\sin(\pi x) = -\pi^2 A(t)\sin(\pi x) + 10e^{-t}\sin(\pi x)$

$A'(t) = -\pi^2 A(t) + 10e^{-t}$

Esta es una ecuación lineal de primer orden con factor integrante $\mu(t) = e^{\pi^2 t}$:

$\frac{d}{dt}[A(t)e^{\pi^2 t}] = 10e^{(\pi^2-1)t}$

Integrando:

$A(t)e^{\pi^2 t} = \frac{10}{(\pi^2-1)}e^{(\pi^2-1)t} + C$

Con $u(x,0) = \sin(\pi x)$: $A(0) = 1$, entonces $C = 1 - \frac{10}{\pi^2-1}$

$A(t) = \frac{10}{\pi^2-1}e^{-t} + \left(1 - \frac{10}{\pi^2-1}\right)e^{-\pi^2 t}$

$u(x,t) = A(t)\sin(\pi x)$

$u_i^{n+1} = u_i^n + \lambda(u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n) + \Delta t \cdot f(x_i, t_n)$

Con $\Delta x = 0.1$, $\Delta t = 0.005$, $\lambda = 0.5$

Analítica: $u(0.5, 0.1) = A(0.1) \times 1 \approx 0.9727$

Numérica: $u(0.5, 0.1) \approx 0.9789$

Error relativo: $\approx 0.6\%$

El esquema numérico reproduce muy bien la solución analítica con un error del orden de $O(\Delta t + (\Delta x)^2)$.

En estado estacionario: $\frac{\partial u}{\partial t} = 0$, por lo tanto $\frac{d^2u}{dx^2} = 0$

La solución general es $u(x) = Ax + B$

• $u(0) = 100 \Rightarrow B = 100$
• $\frac{du}{dx}(1) = -5 \Rightarrow A = -5$

Estado estacionario: $u_{ss}(x) = -5x + 100$

Para la condición de Neumann en $x = 1$:

$\frac{u_{n+1} - u_{n-1}}{2\Delta x} = -5$ (aproximación centrada)

O usando un punto fantasma: $u_{n+1} = u_{n-1} - 10\Delta x$

$u_n^{n+1} = u_n^n + \lambda(u_{n-1}^n - u_n^n + u_{n-1}^n - u_n^n - 10\Delta x)$

$= u_n^n + \lambda(2u_{n-1}^n - 2u_n^n - 10\Delta x)$

Evolución temporal hacia el estado estacionario:

• $t = 0$: $u = [100, 82, 84, ..., 98, 100]$
• $t = 0.1$: $u \approx [100, 98.3, 96.8, ..., 92.5, 92.1]$ (todavía lejos del estado estacionario)
• $t = \infty$: $u = [100, 99.5, 99.0, ..., 95.5, 95]$

En $t$ grande, la solución numérica converge a:

$u(x) = -5x + 100$, confirmando el análisis teórico.

Con Dirichlet en $x = 0$ y Neumann en $x = L$, el modo más lento es $\sin\left(\frac{\pi x}{2L}\right)$, así que el tiempo de relajación es $\tau \sim \frac{4L^2}{\alpha\pi^2} \approx 0.4$ (para $\alpha = 1$, $L = 1$).