Ejercicios resueltos de coeficientes indeterminados

Ecuación característica: $m^2 - 4m + 3 = 0$

$(m - 1)(m - 3) = 0$, así $m_1 = 1, m_2 = 3$

Solución homogénea: $y_h = c_1 e^x + c_2 e^{3x}$

Como el término no homogéneo es $6e^{2x}$ y $e^{2x}$ no está en $y_h$, proponemos:

$y_p = Ae^{2x}$

$y_p = Ae^{2x}$

$y_p' = 2Ae^{2x}$

$y_p'' = 4Ae^{2x}$

$4Ae^{2x} - 4(2Ae^{2x}) + 3(Ae^{2x}) = 6e^{2x}$

$4Ae^{2x} - 8Ae^{2x} + 3Ae^{2x} = 6e^{2x}$

$-Ae^{2x} = 6e^{2x}$

Por tanto: $A = -6$

$y = y_h + y_p = c_1 e^x + c_2 e^{3x} - 6e^{2x}$

Ecuación característica: $m^2 + 1 = 0$, así $m = \pm i$

Solución homogénea: $y_h = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x)$

El término es $4\cos(x) + 2\sin(x)$, pero ambos $\cos(x)$ y $\sin(x)$ están en $y_h$.

Como hay resonancia, proponemos:

$y_p = Ax\cos(x) + Bx\sin(x)$

$y_p' = A\cos(x) - Ax\sin(x) + B\sin(x) + Bx\cos(x)$

$= (A + Bx)\cos(x) + (B - Ax)\sin(x)$

$y_p'' = B\cos(x) - A\sin(x) + B\cos(x) - Bx\sin(x) - A\sin(x) - Ax\cos(x)$

$= (2B - Ax)\cos(x) + (-2A - Bx)\sin(x)$

$(2B - Ax)\cos(x) + (-2A - Bx)\sin(x) + Ax\cos(x) + Bx\sin(x) = 4\cos(x) + 2\sin(x)$

$2B\cos(x) - 2A\sin(x) = 4\cos(x) + 2\sin(x)$

$2B = 4$

$-2A = 2$

Por tanto: $B = 2$ y $A = -1$

$y = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) - x\cos(x) + 2x\sin(x)$

Ecuación característica: $m^3 - m^2 - m + 1 = 0$

Factorizando: $m^2(m - 1) - (m - 1) = (m - 1)(m^2 - 1) = (m - 1)(m - 1)(m + 1) = (m - 1)^2(m + 1) = 0$

Raíces: $m_1 = 1$ (doble), $m_2 = -1$

Solución homogénea: $y_h = c_1 e^x + c_2 xe^x + c_3 e^{-x}$

Para $x^2 + 2x$, proponemos: $y_p = ax^2 + bx + c$

$y_p = ax^2 + bx + c$

$y_p' = 2ax + b$

$y_p'' = 2a$

$y_p''' = 0$

$0 - 2a - (2ax + b) + (ax^2 + bx + c) = x^2 + 2x$

$ax^2 + (b - 2a)x + (c - 2a - b) = x^2 + 2x$

Coeficiente de $x^2$: $a = 1$

Coeficiente de $x$: $b - 2a = 2 \Rightarrow b - 2(1) = 2 \Rightarrow b = 4$

Término independiente: $c - 2a - b = 0 \Rightarrow c - 2(1) - 4 = 0 \Rightarrow c = 6$

$y = c_1 e^x + c_2 xe^x + c_3 e^{-x} + x^2 + 4x + 6$

Ecuación característica: $m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2 = 0$

Raíz doble: $m = -2$

Solución homogénea: $y_h = c_1 e^{-2x} + c_2 xe^{-2x}$

$g(x) = e^{-2x}(3x + 1) = 3xe^{-2x} + e^{-2x}$

Como $e^{-2x}$ y $xe^{-2x}$ están en $y_h$, necesitamos multiplicar por $x^2$.

$y_p = x^2 e^{-2x}(ax + b) = e^{-2x}(ax^3 + bx^2)$

$y_p = e^{-2x}(ax^3 + bx^2)$

$y_p' = e^{-2x}(3ax^2 + 2bx) + (-2)e^{-2x}(ax^3 + bx^2)$

$= e^{-2x}(3ax^2 + 2bx - 2ax^3 - 2bx^2)$

$= e^{-2x}(-2ax^3 + (3a - 2b)x^2 + 2bx)$

$y_p'' = e^{-2x}(-6ax^2 + 2(3a - 2b)x + 2b) + (-2)e^{-2x}(-2ax^3 + (3a - 2b)x^2 + 2bx)$

$= e^{-2x}[-6ax^2 + 2(3a - 2b)x + 2b + 4ax^3 - 2(3a - 2b)x^2 - 4bx]$

$= e^{-2x}[4ax^3 + (-6a - 2(3a - 2b))x^2 + (2(3a - 2b) - 4b)x + 2b]$

$= e^{-2x}[4ax^3 + (-12a + 4b)x^2 + (6a - 8b)x + 2b]$

Después de sustituir y simplificar (los cálculos son extensos), obtenemos:

$e^{-2x}[6ax + 2b] = e^{-2x}(3x + 1)$

$6a = 3 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$

$2b = 1 \Rightarrow b = \frac{1}{2}$

$y = c_1 e^{-2x} + c_2 xe^{-2x} + e^{-2x}\left(\frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right)$