Ejercicios resueltos de ecuaciones lineales de primer orden

$y' - 2y = 6e^{3x}$ donde $p(x) = -2$ y $f(x) = 6e^{3x}$

$\mu(x) = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$

$e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = 6e^{3x}e^{-2x} = 6e^x$

$\frac{d}{dx}[e^{-2x}y] = 6e^x$

$e^{-2x}y = \int 6e^x dx = 6e^x + C$

$y = e^{2x}(6e^x + C) = 6e^{3x} + Ce^{2x}$

$y' + \frac{2}{x}y = x^2$

Identificar $p(x) = \frac{2}{x}$ y $f(x) = x^2$

$\mu(x) = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2\ln|x|} = x^2$ (para $x > 0$)

$x^2 y' + 2xy = x^4$

$\frac{d}{dx}[x^2 y] = x^4$

$x^2 y = \int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + C$

$y = \frac{x^3}{5} + \frac{C}{x^2}$

$4 = \frac{1}{5} + C$, por lo tanto $C = \frac{19}{5}$

$y = \frac{x^3}{5} + \frac{19}{5x^2}$

$\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1}y = \frac{3x}{x^2 + 1}$

$\mu(x) = e^{\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx} = e^{\ln(x^2 + 1)} = x^2 + 1$

$(x^2 + 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = 3x$

$\frac{d}{dx}[(x^2 + 1)y] = 3x$

$(x^2 + 1)y = \int 3x dx = \frac{3x^2}{2} + C$

$y = \frac{3x^2}{2(x^2 + 1)} + \frac{C}{x^2 + 1}$

Cuando $x \to \infty$:

$y \approx \frac{3x^2}{2x^2} = \frac{3}{2}$

La solución se aproxima asintóticamente a $y = \frac{3}{2}$.

Si $y$ es un polinomio, $y' + \alpha y$ también lo es. Por tanto $x^\alpha$ debe ser un polinomio, es decir, $\alpha = n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$. Para $\alpha$ negativo o no entero (por ejemplo, $\alpha = -1$: $y' - y = \frac{1}{x}$) no hay solución polinómica.

$y' = 1 \Rightarrow y = x + C$: todas las soluciones son polinómicas.

Buscamos $y_p = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$. Igualando coeficientes en $y_p' + n y_p = x^n$:

$n a_n = 1$ y $n a_{k-1} + k a_k = 0$ para $k = n, \ldots, 1$, es decir, $a_{k-1} = -\frac{k}{n}a_k$.

Ejemplos:

$\alpha = 1$: $y' + y = x \Rightarrow y_p = x - 1$

$\alpha = 2$: $y' + 2y = x^2 \Rightarrow y_p = \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}$

La solución general es $y = y_p + Ce^{-nx}$, y la única solución polinómica es la que corresponde a $C = 0$.

Hay solución polinómica si y solo si $\alpha \in \{0, 1, 2, \ldots\}$. Para $\alpha = 0$, todas las soluciones $y = x + C$ son polinómicas. Para $\alpha = n \geq 1$ hay un único polinomio solución, de grado $n$ (el que corresponde a $C = 0$).