Ejercicios resueltos de verificación de soluciones

$y = Ce^{-4x}$

$y' = -4Ce^{-4x}$

$y' + 4y = -4Ce^{-4x} + 4(Ce^{-4x}) = -4Ce^{-4x} + 4Ce^{-4x} = 0$ $\checkmark$

La función $y = Ce^{-4x}$ satisface la ecuación diferencial para cualquier constante $C$.

$y = x^2 + 2Cx + C^2 = (x + C)^2$

$y' = 2(x + C)$

$\sqrt{y} = \sqrt{(x + C)^2} = |x + C|$

Para $x + C \geq 0$: $\sqrt{y} = x + C$ (si $x + C < 0$, entonces $\sqrt{y} = -(x + C)$ e $y' = 2(x + C) = -2\sqrt{y}$, que no cumple la ecuación)

$y' = 2(x + C) = 2\sqrt{y}$ $\checkmark$

La función verifica la ecuación diferencial en el dominio donde $x + C \geq 0$.

$y = C_1 e^{2x} + C_2 xe^{2x}$

$y' = 2C_1 e^{2x} + C_2(e^{2x} + 2xe^{2x}) = 2C_1 e^{2x} + C_2 e^{2x} + 2C_2 xe^{2x}$

$y'' = 4C_1 e^{2x} + 2C_2 e^{2x} + 2C_2 e^{2x} + 4C_2 xe^{2x} = 4C_1 e^{2x} + 4C_2 e^{2x} + 4C_2 xe^{2x}$

$y'' - 4y' + 4y = (4C_1 e^{2x} + 4C_2 e^{2x} + 4C_2 xe^{2x}) - 4(2C_1 e^{2x} + C_2 e^{2x} + 2C_2 xe^{2x}) + 4(C_1 e^{2x} + C_2 xe^{2x})$

$= 4C_1 e^{2x} + 4C_2 e^{2x} + 4C_2 xe^{2x} - 8C_1 e^{2x} - 4C_2 e^{2x} - 8C_2 xe^{2x} + 4C_1 e^{2x} + 4C_2 xe^{2x}$

$= (4C_1 - 8C_1 + 4C_1)e^{2x} + (4C_2 - 4C_2)e^{2x} + (4C_2 - 8C_2 + 4C_2)xe^{2x}$

$= 0 + 0 + 0 = 0$ $\checkmark$

La familia de funciones es solución general de la ecuación diferencial de segundo orden.

Sean $y_1$ y $y_2$ soluciones de $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$, es decir:

$y_1'' + p(x)y_1' + q(x)y_1 = 0$

$y_2'' + p(x)y_2' + q(x)y_2 = 0$

Sea $y = C_1y_1 + C_2y_2$ donde $C_1$ y $C_2$ son constantes arbitrarias.

$y' = C_1y_1' + C_2y_2'$

$y'' = C_1y_1'' + C_2y_2''$

$y'' + p(x)y' + q(x)y = (C_1y_1'' + C_2y_2'') + p(x)(C_1y_1' + C_2y_2') + q(x)(C_1y_1 + C_2y_2)$

$= C_1(y_1'' + p(x)y_1' + q(x)y_1) + C_2(y_2'' + p(x)y_2' + q(x)y_2)$

$= C_1 \cdot 0 + C_2 \cdot 0 = 0$ $\checkmark$

El principio de superposición se cumple para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.