Ejercicios resueltos de variables separables

$3y^2 dy = 2x dx$

$\int 3y^2 dy = \int 2x dx$

$y^3 = x^2 + C$

$2^3 = 1^2 + C$

$8 = 1 + C$

$C = 7$

$y^3 = x^2 + 7$

$y = \sqrt[3]{x^2 + 7}$

$\frac{dy}{y} = \frac{x dx}{x^2 + 1}$

Sea $u = x^2 + 1$, entonces $du = 2x dx$

$\int \frac{x dx}{x^2 + 1} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|u| = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)$

$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{x dx}{x^2 + 1}$

$\ln|y| = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C_1$

$|y| = e^{C_1} \sqrt{x^2 + 1}$

$y = C\sqrt{x^2 + 1}$ donde $C = \pm e^{C_1}$

Cuando $x \to \infty$: $y \approx C|x| \to \pm\infty$ dependiendo del signo de $C$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{e^y}$

$e^y dy = e^x dx$

$\int e^y dy = \int e^x dx$

$e^y = e^x + C$

$e^{\ln 3} = e^0 + C$

$3 = 1 + C$

$C = 2$

$e^y = e^x + 2$

$y = \ln(e^x + 2)$

La función $f(x,y) = e^{x-y}$ y su derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y} = -e^{x-y}$ son continuas en todo el plano, garantizando unicidad por el teorema de existencia y unicidad.

$\frac{dy}{1 + y^2} = \frac{dx}{1 + x^2}$

$\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int \frac{dx}{1 + x^2}$

$\arctan(y) = \arctan(x) + C$

$y = \tan(\arctan(x) + C)$

$y = \frac{\tan(\arctan(x)) + \tan(C)}{1 - \tan(\arctan(x))\tan(C)} = \frac{x + \tan(C)}{1 - x\tan(C)}$

Sea $k = \tan(C)$, entonces $y = \frac{x + k}{1 - kx}$.

Es la fórmula de la tangente de la suma de ángulos: $y = \tan(\arctan x + C)$. Para $k = 0$ se obtiene la recta $y = x$. Para $k \neq 0$ la solución equivale a $\left(x - \frac{1}{k}\right)\left(y + \frac{1}{k}\right) = -\frac{1 + k^2}{k^2}$, es decir, las curvas solución son hipérbolas equiláteras con asíntota vertical $x = \frac{1}{k}$ y asíntota horizontal $y = -\frac{1}{k}$. Cada solución está definida en un intervalo que no contiene $x = \frac{1}{k}$ y recorre, por tanto, una sola rama de la hipérbola.