Ejercicios resueltos de verificación de soluciones

Calculamos las derivadas:

$y_1' = 3e^{3x}$, $y_1'' = 9e^{3x}$

$9e^{3x} - 3e^{3x} - 6e^{3x} = (9 - 3 - 6)e^{3x} = 0e^{3x} = 0$ $\checkmark$

Calculamos las derivadas:

$y_2' = -2e^{-2x}$, $y_2'' = 4e^{-2x}$

$4e^{-2x} - (-2e^{-2x}) - 6e^{-2x} = (4 + 2 - 6)e^{-2x} = 0e^{-2x} = 0$ $\checkmark$

Ambas funciones son soluciones de la ecuación diferencial.

Calculamos las derivadas:

$y_1' = 2x$, $y_1'' = 2$

$x^2(2) - 4x(2x) + 6(x^2) = 2x^2 - 8x^2 + 6x^2 = 0$ $\checkmark$

Calculamos las derivadas:

$y_2' = 3x^2$, $y_2'' = 6x$

$x^2(6x) - 4x(3x^2) + 6(x^3) = 6x^3 - 12x^3 + 6x^3 = 0$ $\checkmark$

Ambas funciones satisfacen la ecuación diferencial.

Usando la regla del producto:

$y_1' = -e^{-x}\cos(2x) - 2e^{-x}\sin(2x) = e^{-x}(-\cos(2x) - 2\sin(2x))$

$y_1'' = e^{-x}(\cos(2x) + 2\sin(2x)) + e^{-x}(2\sin(2x) - 4\cos(2x))$

$= e^{-x}(-3\cos(2x) + 4\sin(2x))$

$e^{-x}(-3\cos(2x) + 4\sin(2x)) + 2e^{-x}(-\cos(2x) - 2\sin(2x)) + 5e^{-x}\cos(2x)$

$= e^{-x}[(-3 - 2 + 5)\cos(2x) + (4 - 4)\sin(2x)] = e^{-x}[0] = 0$ $\checkmark$

Por cálculo similar:

$y_2' = e^{-x}(-\sin(2x) + 2\cos(2x))$

$y_2'' = e^{-x}(-3\sin(2x) - 4\cos(2x))$

La verificación da resultado cero, confirmando que $y_2$ también es solución.

Sea $y = c_1y_1 + c_2y_2$ donde $c_1, c_2$ son constantes arbitrarias.

$y' = c_1y_1' + c_2y_2'$

$y'' = c_1y_1'' + c_2y_2''$

$a(c_1y_1'' + c_2y_2'') + b(c_1y_1' + c_2y_2') + c(c_1y_1 + c_2y_2)$

$= c_1(ay_1'' + by_1' + cy_1) + c_2(ay_2'' + by_2' + cy_2)$

Como $y_1$ y $y_2$ satisfacen la ecuación homogénea:

$ay_1'' + by_1' + cy_1 = 0$ y $ay_2'' + by_2' + cy_2 = 0$

Por tanto: $c_1(0) + c_2(0) = 0$

Como $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes (Wronskiano $\neq 0$), cualquier solución de la ecuación diferencial de segundo orden puede expresarse como combinación lineal de estas dos funciones independientes.