Ejercicios resueltos de transformada de Laplace

$\mathcal{L}\{2t^3 - 5e^{3t} + 4\cos(t)\} = 2\mathcal{L}\{t^3\} - 5\mathcal{L}\{e^{3t}\} + 4\mathcal{L}\{\cos(t)\}$

$\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}$, así que $\mathcal{L}\{t^3\} = \frac{3!}{s^4} = \frac{6}{s^4}$

$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$, así que $\mathcal{L}\{e^{3t}\} = \frac{1}{s-3}$

$\mathcal{L}\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^2+a^2}$, así que $\mathcal{L}\{\cos(t)\} = \frac{s}{s^2+1}$

$\mathcal{L}\{2t^3 - 5e^{3t} + 4\cos(t)\} = 2 \cdot \frac{6}{s^4} - 5 \cdot \frac{1}{s-3} + 4 \cdot \frac{s}{s^2+1}$

$= \frac{12}{s^4} - \frac{5}{s-3} + \frac{4s}{s^2+1}$

Sea $Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$

$\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s) - s(1) - 0 = s^2Y(s) - s$

$\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0) = sY(s) - 1$

$\mathcal{L}\{y\} = Y(s)$

$(s^2Y(s) - s) - 3(sY(s) - 1) + 2Y(s) = 0$

$s^2Y(s) - s - 3sY(s) + 3 + 2Y(s) = 0$

$Y(s)(s^2 - 3s + 2) = s - 3$

$Y(s) = \frac{s - 3}{s^2 - 3s + 2} = \frac{s - 3}{(s - 1)(s - 2)}$

$\frac{s - 3}{(s - 1)(s - 2)} = \frac{A}{s - 1} + \frac{B}{s - 2}$

$s - 3 = A(s - 2) + B(s - 1)$

Para $s = 1$: $-2 = A(-1) \Rightarrow A = 2$

Para $s = 2$: $-1 = B(1) \Rightarrow B = -1$

$Y(s) = \frac{2}{s - 1} - \frac{1}{s - 2}$

$y(t) = 2e^t - e^{2t}$

Esta es una función de la forma $t f(t)$ donde $f(t) = e^{-2t}\sin(3t)$

Usaremos la propiedad: $\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)$ donde $F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}$

Usando la propiedad de desplazamiento en frecuencia:

$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$

Como $\mathcal{L}\{\sin(3t)\} = \frac{3}{s^2 + 9}$, entonces:

$\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin(3t)\} = \frac{3}{(s+2)^2 + 9} = \frac{3}{s^2 + 4s + 13}$

$F(s) = \frac{3}{s^2 + 4s + 13}$

$F'(s) = 3 \cdot \frac{d}{ds}\left[(s^2 + 4s + 13)^{-1}\right]$

$= 3 \cdot (-1)(s^2 + 4s + 13)^{-2} \cdot (2s + 4)$

$= -\frac{3(2s + 4)}{(s^2 + 4s + 13)^2} = -\frac{6(s + 2)}{(s^2 + 4s + 13)^2}$

$\mathcal{L}\{t e^{-2t} \sin(3t)\} = -F'(s) = \frac{6(s + 2)}{(s^2 + 4s + 13)^2}$

$\mathcal{L}\{y''\} + 4\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{\delta(t - \pi)\}$

$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 4Y(s) = e^{-\pi s}$

$s^2Y(s) - 0 - 1 + 4Y(s) = e^{-\pi s}$

$(s^2 + 4)Y(s) = 1 + e^{-\pi s}$

$Y(s) = \frac{1}{s^2 + 4} + \frac{e^{-\pi s}}{s^2 + 4}$

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2 + 4}\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1/2}{s^2 + 2^2}\right\} = \frac{1}{2}\sin(2t)$

Usando la propiedad de desplazamiento temporal:

$\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a)f(t-a)$

donde $u(t-a)$ es la función escalón unitario.

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{e^{-\pi s}}{s^2 + 4}\right\} = u(t-\pi) \cdot \frac{1}{2}\sin(2(t-\pi))$

$= \frac{1}{2}u(t-\pi)\sin(2t-2\pi) = \frac{1}{2}u(t-\pi)\sin(2t)$

$y(t) = \frac{1}{2}\sin(2t) + \frac{1}{2}u(t-\pi)\sin(2t)$

$= \frac{1}{2}\sin(2t)[1 + u(t-\pi)]$

Esta función es $\frac{1}{2}\sin(2t)$ para $0 \leq t < \pi$ y $\sin(2t)$ para $t \geq \pi$.