Ejercicios resueltos de ecuación característica

Sustituyendo $y = e^{mx}$ en la ecuación diferencial:

$m^2 - 5m + 6 = 0$

Factorizando: $(m - 2)(m - 3) = 0$

Las raíces son: $m_1 = 2$ y $m_2 = 3$

Como las raíces son reales y distintas:

$y = c_1 e^{2x} + c_2 e^{3x}$

Podemos verificar que ambas soluciones $e^{2x}$ y $e^{3x}$ satisfacen la ecuación original y son linealmente independientes.

$m^3 - 6m^2 + 11m - 6 = 0$

Probamos $m = 1$: $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ $\checkmark$

Dividimos por $(m - 1)$: $m^3 - 6m^2 + 11m - 6 = (m - 1)(m^2 - 5m + 6)$

$m^2 - 5m + 6 = (m - 2)(m - 3)$

Por tanto: $(m - 1)(m - 2)(m - 3) = 0$

Las raíces son: $m_1 = 1$, $m_2 = 2$, $m_3 = 3$

Como todas las raíces son reales y distintas:

$y = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x}$

$m^2 - 2m + 5 = 0$

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$

Las raíces complejas son $m = 1 \pm 2i$

$\alpha = 1$ (parte real) y $\beta = 2$ (parte imaginaria)

Para raíces complejas $\alpha \pm \beta i$:

$y = e^{\alpha x}(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x))$

Por tanto: $y = e^x(c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x))$

$m^4 - 1 = 0$

Las raíces cuartas de la unidad son:

$m^4 - 1 = (m^2)^2 - 1 = (m^2 - 1)(m^2 + 1) = (m - 1)(m + 1)(m - i)(m + i) = 0$

$m_1 = 1$, $m_2 = -1$, $m_3 = i$, $m_4 = -i$

Para las raíces reales: contribuyen $c_1 e^x + c_2 e^{-x}$

Para las raíces complejas $\pm i$ (con $\alpha = 0$, $\beta = 1$):

contribuyen $c_3 \cos(x) + c_4 \sin(x)$

$y = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + c_3 \cos(x) + c_4 \sin(x)$