Ejercicios resueltos de producto escalar y vectorial

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(1) + (1)(-2) + (-3)(1) = 2 - 2 - 3 = -3$

$|\vec{u}| = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$, $|\vec{v}| = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

$\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} = \frac{-3}{\sqrt{14}\sqrt{6}} = \frac{-3}{\sqrt{84}} = \frac{-3}{2\sqrt{21}}$

$\theta = \arccos\left(\frac{-3}{2\sqrt{21}}\right) \approx 109.1°$

Como $\vec{u} \cdot \vec{v} = -3 \neq 0$, los vectores no son perpendiculares.

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \vec{i}[(1)(1) - (-3)(-2)] - \vec{j}[(2)(1) - (-3)(1)] + \vec{k}[(2)(-2) - (1)(1)]$

$= \vec{i}(1 - 6) - \vec{j}(2 + 3) + \vec{k}(-4 - 1)$

$= -5\vec{i} - 5\vec{j} - 5\vec{k} = (-5, -5, -5)$

$(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u} = (-5, -5, -5) \cdot (2, 1, -3) = -10 - 5 + 15 = 0$ ✓

$(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{v} = (-5, -5, -5) \cdot (1, -2, 1) = -5 + 10 - 5 = 0$ ✓

$\vec{b} + \vec{c} = (0, 2, 1) + (1, 1, 2) = (1, 3, 3)$

$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = (3, 0, 4) \cdot (1, 3, 3) = 3 + 0 + 12 = 15$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3, 0, 4) \cdot (0, 2, 1) = 0 + 0 + 4 = 4$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = (3, 0, 4) \cdot (1, 1, 2) = 3 + 0 + 8 = 11$

$(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4 + 11 = 15$ ✓

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = (3, 0, 4) \times (1, 3, 3) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix}$

$= \vec{i}(0 \cdot 3 - 4 \cdot 3) - \vec{j}(3 \cdot 3 - 4 \cdot 1) + \vec{k}(3 \cdot 3 - 0 \cdot 1)$

$= -12\vec{i} - 5\vec{j} + 9\vec{k} = (-12, -5, 9)$

$\vec{a} \times \vec{b} = (3, 0, 4) \times (0, 2, 1) = (-8, -3, 6)$

$\vec{a} \times \vec{c} = (3, 0, 4) \times (1, 1, 2) = (-4, -2, 3)$

$(\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{c}) = (-8, -3, 6) + (-4, -2, 3) = (-12, -5, 9)$ ✓

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (-8, -3, 6) \cdot (1, 1, 2) = -8 - 3 + 12 = 1$

El producto mixto representa el volumen del paralelepípedo formado por los vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$.

Como el resultado es $1 > 0$, los vectores forman una base con orientación positiva y el volumen del paralelepípedo es $1$ unidad cúbica.

$\vec{AB} = B - A = (4, 1, 5) - (1, 2, 3) = (3, -1, 2)$

$\vec{AC} = C - A = (2, 3, 1) - (1, 2, 3) = (1, 1, -2)$

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (3)(1) + (-1)(1) + (2)(-2) = 3 - 1 - 4 = -2$

$|\vec{AB}| = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$, $|\vec{AC}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

$\cos(\angle BAC) = \frac{-2}{\sqrt{14}\sqrt{6}} = \frac{-2}{\sqrt{84}} = \frac{-1}{\sqrt{21}}$

$\angle BAC = \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{21}}\right) \approx 102.6°$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}$

$= \vec{i}(2 - 2) - \vec{j}(-6 - 2) + \vec{k}(3 + 1) = 0\vec{i} + 8\vec{j} + 4\vec{k} = (0, 8, 4)$

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0 + 64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

Área del triángulo $= \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$

Área $= \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$

$2\sqrt{5} = \frac{1}{2} \times |\vec{AB}| \times h$

$2\sqrt{5} = \frac{1}{2} \times \sqrt{14} \times h$

$h = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{14}} = \frac{4\sqrt{5}\sqrt{14}}{14} = \frac{4\sqrt{70}}{14} = \frac{2\sqrt{70}}{7}$

$\vec{p} \cdot \vec{q} = a(1) + 1(b) + 2(-1) = a + b - 2 = 0$

$a + b = 2$ (infinitas soluciones: cualquier par $(a,b)$ que sume 2)

$\vec{p} = (2, 1, 2)$, $\vec{q} = (1, -1, -1)$

$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

$= \vec{i}(-1 + 2) - \vec{j}(-2 - 2) + \vec{k}(-2 - 1) = \vec{i} + 4\vec{j} - 3\vec{k} = (1, 4, -3)$

$|\vec{p} \times \vec{q}|^2 = 1^2 + 4^2 + (-3)^2 = 1 + 16 + 9 = 26$

$|\vec{p}|^2 = 4 + 1 + 4 = 9$, $|\vec{q}|^2 = 1 + 1 + 1 = 3$

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 2 + (-1) + (-2) = -1$

$|\vec{p}|^2|\vec{q}|^2 - (\vec{p} \cdot \vec{q})^2 = 9 \times 3 - (-1)^2 = 27 - 1 = 26$ ✓

$V = |(\vec{p} \times \vec{q}) \cdot \vec{r}| = |(1, 4, -3) \cdot (1, 0, 3)| = |1 + 0 - 9| = |-8| = 8$

El volumen del paralelepípedo es 8 unidades cúbicas.