Ejercicios resueltos de transformaciones conformes

La transformación que mapea el semiplano superior al disco unitario tiene la forma:

$w = \frac{z - z_0}{z - \overline{z_0}}$

donde $z_0$ es un punto fijo en el semiplano superior que se mapea al origen.

La transformación estándar que mapea el semiplano superior al disco unitario es:

$w = \frac{z - i}{z + i}$

donde el punto $z = i$ se mapea al origen $w = 0$.

Verificar que mapea el semiplano superior al disco unitario:

Para $z = x + iy$ con $y > 0$:

$w = \frac{x + iy - i}{x + iy + i} = \frac{x + i(y-1)}{x + i(y+1)}$

$|w|^2 = \frac{x^2 + (y-1)^2}{x^2 + (y+1)^2}$

Para $y > 0$: $(y-1)^2 < (y+1)^2$, por tanto $|w| < 1$ $\checkmark$

$z = i \rightarrow w = \frac{i - i}{i + i} = \frac{0}{2i} = 0$ $\checkmark$

$z = 0 \rightarrow w = \frac{0 - i}{0 + i} = \frac{-i}{i} = -1$ $\checkmark$

$z = \infty \rightarrow w = 1$ $\checkmark$

$w = \frac{2i - i}{2i + i} = \frac{i}{3i} = \frac{1}{3}$

$|w| = \frac{1}{3} < 1$ $\checkmark$ (está dentro del disco unitario)

De $w = \frac{z - i}{z + i}$, despejamos $z$:

$w(z + i) = z - i$

$wz + wi = z - i$

$wz - z = -i - wi$

$z(w - 1) = -i(1 + w)$

$z = \frac{-i(1 + w)}{w - 1} = \frac{i(1 + w)}{1 - w}$

Para $w = \frac{1}{3}$:

$z = \frac{i(1 + \frac{1}{3})}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{i \cdot \frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{4i}{2} = 2i$ $\checkmark$

Resultado: La transformación $w = \frac{z - i}{z + i}$ mapea el punto $z = 2i$ al punto $w = \frac{1}{3}$.

Sea $z = x + iy$ y $w = u + iv$. Entonces:

$w = z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$

Por tanto: $u = x^2 - y^2$ y $v = 2xy$

El primer cuadrante $\{z: x > 0, y > 0\}$ se mapea al semiplano superior $\{w: v > 0\}$.

Verificar:

• Eje $x$ positivo ($y = 0$, $x > 0$): $w = x^2$ (eje $u$ positivo)
• Eje $y$ positivo ($x = 0$, $y > 0$): $w = -y^2$ (eje $u$ negativo)
• Interior del cuadrante: $v = 2xy > 0$ $\checkmark$

Frontera $y = 0,$ eje $x$ positivo

$u(x,0) = 0$ se mapea a $U(u,0) = 0$ para $u > 0$

Frontera $x = 0, 0 \leq y \leq 1$

$z = iy$ se mapea a $w = (iy)^2 = -y^2$

$u(0,y) = y$ se convierte en $U(-y^2, 0) = y$ para $0 \leq y \leq 1$

Como $u = -y^2$ y $y = \sqrt{-u}$, tenemos:

$U(u,0) = \sqrt{-u}$ para $-1 \leq u \leq 0$

Frontera $x = 0, y > 1$

$u(0,y) = 1$ se convierte en $U(u,0) = 1$ para $u < -1$

En el plano $w$, resolver:

$\nabla^2 U = 0$ para $v > 0$ con:

• $U(u,0) = 0$ para $u > 0$
• $U(u,0) = \sqrt{-u}$ para $-1 \leq u \leq 0$
• $U(u,0) = 1$ para $u < -1$

Para el semiplano superior, la solución es:

$U(u,v) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{vg(\xi)}{(u-\xi)^2 + v^2} d\xi$

donde $g(\xi)$ son los valores de frontera.

$U(u,v) = \frac{v}{\pi} \left[ \int_{-\infty}^{-1} \frac{1 \cdot d\xi}{(u-\xi)^2 + v^2} + \int_{-1}^{0} \frac{\sqrt{-\xi} \cdot d\xi}{(u-\xi)^2 + v^2} + \int_{0}^{\infty} \frac{0 \cdot d\xi}{(u-\xi)^2 + v^2} \right]$

La primera integral:

$\int_{-\infty}^{-1} \frac{d\xi}{(u-\xi)^2 + v^2} = \left[-\frac{1}{v}\arctan\left(\frac{u-\xi}{v}\right)\right]_{-\infty}^{-1} = \frac{1}{v}\left[\frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{u+1}{v}\right)\right]$

La segunda integral es más compleja y requiere integración por partes.

Para este problema específico, es más eficiente usar el método de reflexiones o funciones de Green para el semiplano.

La solución aproximada en regiones específicas:

Cerca de la esquina transformada $(-1{,}0)$ los datos de frontera valen $1$ a ambos lados ($\sqrt{-u} \to 1$ cuando $u \to -1$), así que $U(u,v) \to 1$ cuando $(u,v) \to (-1{,}0)$.

Una vez obtenida $U(u,v)$, la solución original es:

$u(x,y) = U(x^2-y^2, 2xy)$

Resultado: La transformación $w = z^2$ convierte el problema de esquina en el primer cuadrante a un problema más estándar en el semiplano superior, aunque la solución completa requiere métodos avanzados de funciones especiales.

Sea $f(z)$ analítica en un dominio $D$ con $f'(z) \neq 0$. Consideremos dos curvas $C_1$ y $C_2$ que se intersectan en un punto $z_0 \in D$.

Sean $\gamma_1(t)$ y $\gamma_2(t)$ parametrizaciones de las curvas con $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = z_0$.

Las curvas se mapean a $\Gamma_1(t) = f(\gamma_1(t))$ y $\Gamma_2(t) = f(\gamma_2(t))$ con punto de intersección $w_0 = f(z_0)$.

En $z_0$:

• Tangente a $C_1$: $\vec{T_1} = \gamma_1'(0)$
• Tangente a $C_2$: $\vec{T_2} = \gamma_2'(0)$

En $w_0$:

• Tangente a $\Gamma_1$: $\vec{S_1} = \Gamma_1'(0) = f'(z_0)\gamma_1'(0)$
• Tangente a $\Gamma_2$: $\vec{S_2} = \Gamma_2'(0) = f'(z_0)\gamma_2'(0)$

El ángulo entre las curvas originales:

$\theta_1 = \arg(\vec{T_2}) - \arg(\vec{T_1}) = \arg\left(\frac{\gamma_2'(0)}{\gamma_1'(0)}\right)$

El ángulo entre las curvas imagen:

$\theta_2 = \arg(\vec{S_2}) - \arg(\vec{S_1}) = \arg\left(\frac{f'(z_0)\gamma_2'(0)}{f'(z_0)\gamma_1'(0)}\right)$

$= \arg(f'(z_0)) + \arg(\gamma_2'(0)) - \arg(f'(z_0)) - \arg(\gamma_1'(0))$

$= \arg\left(\frac{\gamma_2'(0)}{\gamma_1'(0)}\right) = \theta_1$

$\theta_2 = \theta_1$, por tanto los ángulos se preservan.

Además, todas las curvas se rotan por el mismo ángulo $\arg(f'(z_0))$ y se escalan por el factor $|f'(z_0)|$.

Queremos mapear $\{z: 0 < \text{Im}(z) < \pi\}$ al semiplano superior $\{\zeta: \text{Im}(\zeta) > 0\}$.

Consideremos $w = e^z = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i \sin y)$.

Para la banda $0 < y < \pi$:

• Cuando $y = 0^+$: $w \approx e^x$ (eje real positivo)
• Cuando $y = \pi^-$: $w \approx -e^x$ (eje real negativo)
• Cuando $0 < y < \pi$: $\text{Im}(w) = e^x \sin y > 0$ (semiplano superior)

La transformación $w = e^z$ mapea:

• La recta $y = 0$ al eje real positivo
• La recta $y = \pi$ al eje real negativo
• El interior de la banda $0 < y < \pi$ al semiplano superior

$f(z) = e^z$ es analítica en todo el plano complejo.

$f'(z) = e^z \neq 0$ para todo $z$ finito.

Por tanto, $f(z) = e^z$ es conforme en toda la banda.

• $z = i\pi/2 \rightarrow w = e^{i\pi/2} = i$ (eje imaginario positivo)
• $z = x \rightarrow w = e^x$ (eje real positivo)
• $z = x + i\pi \rightarrow w = -e^x$ (eje real negativo)

Resultado:

1. Las transformaciones conformes preservan ángulos debido a que $f'(z_0)$ actúa como una rotación y escalado uniforme en cada punto.
2. La transformación $w = e^z$ mapea conformemente la banda infinita $0 < \text{Im}(z) < \pi$ al semiplano superior.

Consideremos flujo potencial incompresible alrededor de un cilindro circular de radio $a$ centrado en el origen, con flujo uniforme de velocidad $V_{\infty}$ en la dirección $x$ positiva.

Condiciones:

• $\nabla \cdot \vec{v} = 0$ (incompresible)
• $\nabla \times \vec{v} = 0$ (irrotacional)
• $v_r = 0$ en $r = a$ (condición de no penetración)
• $\vec{v} \rightarrow V_{\infty}\hat{x}$ cuando $r \rightarrow \infty$

Para flujo bidimensional, existe un potencial complejo $F(z) = \phi + i\psi$ donde:

• $\phi(x,y)$ es el potencial de velocidad
• $\psi(x,y)$ es la función de corriente
• $\vec{v} = \nabla\phi = (\phi_x, \phi_y)$

El potencial complejo para flujo uniforme alrededor de un cilindro de radio $a$ es:

$F(z) = V_{\infty}\left(z + \frac{a^2}{z}\right)$

En el infinito:

$\lim_{z \rightarrow \infty} F(z) = V_{\infty}z$, que corresponde a $\phi = V_{\infty}x$, $\psi = V_{\infty}y$

$\vec{v} = \nabla\phi = (V_{\infty}, 0)$ $\checkmark$

En el cilindro $|z| = a \textbf{:}$

Sea $z = ae^{i\theta}$, entonces:

$F(ae^{i\theta}) = V_{\infty}\left(ae^{i\theta} + \frac{a^2}{ae^{i\theta}}\right) = V_{\infty}a(e^{i\theta} + e^{-i\theta}) = 2V_{\infty}a\cos\theta$

Como es real, $\psi = 0$ en $|z| = a$, por tanto las líneas de corriente son tangentes al cilindro $\checkmark$

$v_x - iv_y = \frac{dF}{dz} = V_{\infty}\left(1 - \frac{a^2}{z^2}\right)$

En coordenadas cartesianas con $z = x + iy$:

$\frac{1}{z^2} = \frac{1}{(x+iy)^2} = \frac{x^2-y^2-2ixy}{(x^2+y^2)^2}$

$v_x = V_{\infty}\left(1 - \frac{a^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}\right)$

$v_y = -V_{\infty}\frac{2a^2xy}{(x^2+y^2)^2}$

De $F(z) = V_{\infty}\left(z + \frac{a^2}{z}\right)$:

$F(x+iy) = V_{\infty}\left(x + iy + \frac{a^2(x-iy)}{x^2+y^2}\right)$

$= V_{\infty}\left[\left(x + \frac{a^2x}{x^2+y^2}\right) + i\left(y - \frac{a^2y}{x^2+y^2}\right)\right]$

Por tanto:

$\phi(x,y) = V_{\infty}\left(x + \frac{a^2x}{x^2+y^2}\right)$

$\psi(x,y) = V_{\infty}\left(y - \frac{a^2y}{x^2+y^2}\right) = V_{\infty}y\left(1 - \frac{a^2}{x^2+y^2}\right)$

Las líneas de corriente están dadas por $\psi(x,y) = \text{constante}$.

$V_{\infty}y\left(1 - \frac{a^2}{x^2+y^2}\right) = C$

Para $C = 0$: $y = 0$ o $x^2 + y^2 = a^2$

• $y = 0$: eje $x$ (línea de corriente que pasa por arriba y abajo del cilindro)
• $x^2 + y^2 = a^2$: la superficie del cilindro

Los puntos de estancamiento ocurren donde $\vec{v} = 0$:

$1 - \frac{a^2}{z^2} = 0 \Rightarrow z^2 = a^2 \Rightarrow z = \pm a$

Los puntos de estancamiento están en $(±a, 0)$.

Usando la ecuación de Bernoulli: $p + \frac{1}{2}\rho|\vec{v}|^2 = \text{constante}$

En la superficie del cilindro ($r = a$, $\theta$ desde el punto de estancamiento frontal):

$|\vec{v}|^2 = 4V_{\infty}^2\sin^2\theta$

$p(\theta) = p_{\infty} + \frac{1}{2}\rho V_{\infty}^2(1 - 4\sin^2\theta)$

Resultado:

• Potencial complejo: $F(z) = V_{\infty}(z + a^2/z)$
• Función de corriente: $\psi = V_{\infty}y(1 - a^2/(x^2+y^2))$
• Puntos de estancamiento: $(±a, 0)$
• Las líneas de corriente son curvas que evitan el cilindro, simétricas respecto a ambos ejes.